[閒聊] 淺談極限（一休法師的數學對話錄）

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/03/12 23:54)推噓4(4推 0噓 1→)

留言5則, 4人參與討論串1/1

今天下午閒閒沒事，寫了篇微積分中，關於『嚴謹極限定義』的短文初等微積分在這部分，常常是初學者甚感頭痛的章節在這裡斗膽提供另一種教學方式給各位參考.... 有些家教老師或許正在修習微積分，又或者，有人正家教微積分但願這篇文章能對大家有所幫助，並請方家不吝批評指教 ____________________________________________________ 淺談極限（一休法師的數學對話錄）小妍：一休，你怎麼一整個早上都不在安國寺，我找了你好久。快救救我吧！現在一整個亂呀～～～一休：怎麼啦？我不過幫將軍大人到何老闆家辦點事，哪知道麗心小姐出了一堆難題考我，回來的路上又遇到總兵大人，聊個沒完沒了就拖到現在了…… 小妍？妳還好吧？我看妳臉色發青耶！小妍：吼～～～別提了，事情是這樣子的啦！妳還記得我去東森幼幼班學微積分嗎？之前我還自認為掌握的蠻不錯的，哪知道昨天老師教到極限的嚴格定義與證明，我只能看黑板乾瞪眼，完全陷入五里霧中。今天一早急著找你也是為了這檔事，聰明的一休，這種事也只有你能幫我了～～一休：哦～～原來是這件事呀！我還以為又是誰惹麻煩了。 OK～小妍，那裡有棵蔭涼的大樹，旁邊有一塊沙地，不如我們就坐在那兒邊乘涼邊討論吧！走！我順便折個樹枝當筆用！小妍：好呀！你學歐陽修老媽『畫荻教子』咧～～一休：呵呵～～我想到的人可是阿基米德呀（Archimedes） ____________________________________________________________________ 一休：學校老師是怎麼講函數於一點的極限嚴格定義的，小妍，你幫幫忙寫一下囉！小妍：OK！沒問題，我背的滾瓜爛熟，唉～～只是完全搞不懂他的意思（皺眉）老師是這樣寫的：『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』看在老天的份上，快救救我吧！這之於我簡直是火星文的水準。一休：先別急，慢慢來囉！對了，我沒想到妳英文還講的真不錯耶！好吧，咱們來想想：奇怪了？之前老師教直觀的極限，大家都懂呀！為什麼要把事情弄這麼複雜深奧？妳能說說看自己的想法嗎？小妍：數學家總喜歡講『黑話』讓自己看起來更有學問吧！好讓外行人聽不懂而覺得他們很厲害。不然幹嘛這麼折磨人…… 一休：小姑娘，我不完全否認妳的說法！但今天在『極限』這個概念的解釋上，完全不是如此。數學家把極限寫成這般『稀奇古怪』又『面目猙獰』的鬼模樣，可不是因為任何自命清高的理由。為的是把概念『說清楚，講明白，不失一般性的放諸四海皆準』…… 呵呵～～我看得出妳聽的有點茫然了，只是待會妳很可能不得不認同這般論調（除非妳今天一無所獲）小妍：一休！你別鬧我了，現在我滿腦子混亂你還火上添油。一休：回頭看看沙地上寫的，我儘可能把這段話翻譯成白話文，妳可要仔細思量呀！『對於所有ε>0，必定可以找到一δ>0，使得當0<|x-a|<δ時，|f(x)-L|<ε。這個陳述成立的話，我們便說： lim f(x)= L x->a 做個註解好了，妳仔細看看喔！ 1. ε>0代表所有正數。 2. 0<|x-a|<δ就是說：當x介於某一個區間。也就是 a-δ < x < a+δ 且 x≠a，咦？x≠a又是從哪來的！其實仔細看看原來那個絕對值不等式，為什麼要寫成的0＜|x-a|而不是0≦|x-a|呢？其實正說明了數學家不要讓x=a，這也正是極限被發明的精義所在，不是嗎？ 3. |f(x)-L|<ε依樣畫葫蘆啦，L-ε < f(x) < L+ε。總歸一句，這裡要談的觀念是：『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L。小妍：大哥呀！你最後講的那一句我懂，因為那簡直又回到一開始幼幼班裡教的直觀極限。可是前面又為什麼要講一大堆拉哩拉匝的話來混淆視聽呢？一休：小妍，妳以為妳聽懂了最後一句，其實並沒有。『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L』，什麼叫做f(x) 有極限 L？！我相信妳並沒有真的懂，我幾乎可以預料到妳接下來要講甚麼話。小妍：哼！別小看人呀！所謂f(x)有極限L，不就是f(x)很接近L，要多近就可以多近。一休：哈！我就知道妳要這樣講。姑娘，妳已經長大了耶！再沒幾年就要嫁人了，要成熟點，不可以像小孩子一樣講這種不成熟的話來，所謂『要多近就可以多近』，是一句含混不清、不明確又不負責任的話。當妳說：x 逼近 a ，要多近有多近時，那究竟有多近呢？可不可以是0呢？當然不可以，是0的話， x不就等於 a 了（那又何必發明個什麼狗屁極限），於是妳又辯解：好吧！要多近就可以多近，只要不碰到 a ！唉～～小妍，我們是在研究數學，可不是搞政治，似是而非或曖昧不明的話，數學家可是很討厭的。他希望妳把『要多近就可以多近』這句話『定量』的表達出來。小妍：你饒了我吧！我想我不是真的懂，不然今天我就不會來找你了。一休：小姐，極限的存在其實這是一場激烈的『攻防戰』，大部分學微積分的學生並沒有看到這一場戰爭，『一場ε與δ的戰爭，ε負責攻打，而δ負責防守』，如果說：無論ε怎麼出招攻打，δ都能應付要求而防守的住，我們就說f(x) 有極限 L。』小妍：怎麼扯到打仗去了，講的比學校老師還要玄。一休：假設我們今天生活在數學國，敵軍進犯咱們家園，總兵大人就會在城牆上駐軍防守。小妍，一起來瞧瞧戰況吧！敵人希望能破門而入，在部隊裡架設砲台（砲台就是函數f(x)，因為經費有限，敵軍只有一座砲台），裝填砲彈向咱們轟打（ε就是砲彈）。可想而知，當敵軍攻不進去的時候，就會想辦法加強砲彈火力（ε越小，代表砲彈越尖銳，火力越大）小妍：總兵大人要怎麼防守？不會是用δ吧！只剩這玩意沒出場了。一休：這回你講對了！就是要用δ防守敵人丟過來的ε。並且當砲彈越先進越猛烈，也就是ε越小，那麼咱們總兵大人抵擋的防禦性武器δ通常也就要越堅固，這便是防禦的δ要越小…… 小妍：但是ε不能取0，因為這樣子f(x)就會等於L了，這樣會逼的總兵大人可能要以δ＝0來防禦，而δ＝0正是 x＝a ，這恰好違反極限之所以被發明的精神。一休：我幾乎沒辦法回答的比妳更好了。但是我再補充一點：並不是 f(x) 不會等於 L ，只是敵人不能要求ε＝0，也就是敵人不能要求f(x)=L，即使f(x)真的等於L也不能使用。這如同今天國際情勢一般，大家講好無論哪種戰爭都不可以使用核子武器。小妍：可是這個敵人很強悍，也很狡詐，除了核子武器之外的東西他都可以盡情使用，也就是講的出來的正數ε，他都敢用也都允許使用而不違反國際公約。一休：很高興妳又答對了一次。我相信經由這般的引導，如今妳已經茁壯到可以回答我的提問了。來～～考考妳！小妍：儘管考！一休：所謂 "f(x) 有極限 L" 是在講甚麼？小妍：基本上我們的意思是: f(x) 很靠近 L。一休：那有多靠近？小妍：你說要多靠近都做得到，因為現在極限已經存在，但你這個敵軍不能要求 f(x)=L。一休：我希望 |f(x)-L|<0.01，妳防的住嗎？小妍：只要我把 x 夠接近 a, 但 x≠a，就一定防得住！一休：那麼，要求 |f(x)-L|<0.000000000000001 呢？小妍：沒問題！只要我讓 x 夠接近 a，而且 x≠a。一休：那麼...是不是我隨便說一個數 ε＞0，只要 x 夠接近 a，而且 x≠a，就能保証|f(x)-L|<ε！小妍：沒錯! 『f(x) 有極限 L』就是這個意思！可是...甚麼叫 "x 夠接近 a" (而且還要 x≠a)？我不敢說要考一休大師，只能請教了，因為接下來我是真的不懂了！一休：OK！ "f(x) 靠近 L" 不稀奇；但它是有條件的，那就是 "x 夠接近 a而且 x≠a"。重點要來了！我們必須有個標準來評估是否 " x 夠接近 a"？我們可能取一個標準ε>0，凡是 0<|x-a|<δ，也就是x 和 a 的距離小於 δ，就說 x 夠靠近 a。小妍：那... δ 要取多少？ 0.1？ 0.01？一休：注意，δ 是不能任意取的，打個比方好了，今天防守敵軍來襲，所需要使用的防禦武器選擇，並不是由總兵大人，或是何老闆，或是小妍你和一休我所能決定的，『是由打過來砲彈ε來決定我們要用什麼δ去防守。』如果δ取得太大，就不能保証 |f(x)-L|<ε了！所以，一般δ的選取是要看ε來決定的；當然，除了 ε的大小會影響到δ以外，函數 f 的形式也會有影響。於是數學家會這麼講:『δ是ε的函數，δ的值被ε所統御，δ可以寫成δ(ε)。』小妍：好像有點難，可不可以舉個例子。一休：在我舉例之前，我再次強調ε這個大於零的實數必須先被選擇出來，然後正數δ才『被』產生出來。如果對於所有提出的ε，都可以找到δ予以應付的住，我們便說：函數在該點處之極限值存在。容我立刻寫下嚴格的極限定義，我但願妳看著這個剛剛還不知所云的定義，已能有不同的觀點與感受。 Definition （precise meaning of limit）『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』 EX： Prove lim（2x+1）＝7 x->3 戰況分析：攻方魯班（楚國），守方墨翟（宋國）戰國初年楚國攻宋，大戰即將展開，魯班將會以任何ε＞0為武器對墨翟發出挑戰，現在魯班選擇ε＝0.01，墨翟看了一下lim（2x+1） x->3，他猜測這個極限應該會是7。現在墨翟是否能找出一個δ使得當 0<| x-3 |<δ 時，會讓 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01？墨翟運用一點小小代數技巧寫下 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.01 ＜＝＞ 0.01 ｜x－3｜＜ ----- 2 墨翟胸有成竹的說：只要我δ取 0.01/2（或者是更小）也就是讓0＜｜x-3｜＜0.01/2 ，便可抵擋你的砲火，使 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01 這巴掌惱火了魯班，他決計使出更為猛烈的攻勢，再次挑戰，這次他毫不手軟的提出ε＝0.000001，墨翟這下要怎麼防守呢？他笑了:魯老弟，你還真『盧』咧！硬是想再被羞辱一次。 |（2x+1)－7| ＜ 0.000001 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.000001 ＜＝＞ 0.000001 ｜x－3｜＜ ----------- 2 我取δ＝（0.000001）/2 ，使得當 0＜｜x－3｜＜（0.000001）/2 ，便保證|（2x+1)－7| ＜ 0.000001 我看你也別氣的這樣敲桌子踢板凳囉～～早點帶著你的砲彈回家養老吧！魯班趕緊回部隊和幕僚商討研發更小的ε，墨翟搖搖頭，心想，這樣戰事下去也是沒完沒了（永遠無法『證明完』這個極限，因為魯班可以一而再再而三不斷提出更小的ε），有沒有一勞永逸的方法？他坐下來喝了口茶，決定寫一封信親自交給敵營的魯班… ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～魯老弟親親如晤：多年不見，別來無恙，在這裡我也不說客套話了，您仔細瞧瞧吧： ε |（2x+1)－7）| ＜ε ＜＝＞ 2｜x-3｜＜ε ＜＝＞｜x－3｜＜ ----- 2 只要我取δ＝ε/2 ，也就是每當｜x－3｜＜ε/2 ，就確保 |（2x+1)－7）| ＜ε，到這個時候你也該知道，無論是現在還是將來，你的一切努力都將徒勞無功。宋國只是個瘠弱的小國，楚王有容乃大，至於魯兄，不如早點打道回府才無損您閣下的智慧。～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～魯班當場展信看完『我還是知道怎麼打贏宋國，我有辦法！』停了一會，魯般訕訕的說：『真的！我有辦法，但是我不說……』『我也知道你怎麼贏我的』墨翟卻鎮定的說：『但是我也不說。』『你們說的是些什麼呀？！』楚王驚訝的問道。『魯老弟的意思』墨翟旋轉身去，回答道：『不過是想殺掉我，以為殺掉我，宋就沒有人守，就可以攻了。然而我的好朋友一休已經把這個守城（極限）的秘密告知給小妍、李武靖、將軍大人，甚至連麗心小姐都知道了，那娘子的大嘴巴是出了名的，想必現在全宋國都知道了，並且熱烈歡迎楚國的挑戰。魯老弟就是殺掉我，也還是攻不下的！』『先生是主張非攻的。墨老師，我沒有見你的時候，想取宋；一見你，即使白送我宋國，也沒有讓我得以窺見極限的奧義還來的快樂。』面向楚王：『大王！我們還是回去吧！』 __________________________________________________________________ 一休：借用這個歷史故事，我相信聰明如妳已經能把握嚴謹極限的精神，接下來就是多做些題目，好讓這個初釀的思想更為通透清澈。小妍：呵呵～～聰明的一休，你舉的例子不只淺顯易懂，也太貼切了，春秋戰國百家爭鳴，燭之武、蘇秦、張儀、范雎、孟軻…… 以能言善道，三寸不爛之舌縱橫捭闔諸國，得君行道以為志者，多到簡直氾濫。或許當年若多個數學家而少個兵家、法家之流，天下會多一點太平也說不定。一休：呵呵！就妳剛剛那句話，我本想繼續同妳長篇大論一番。不過現在時候不早了，趕緊把今天的討論做個總結吧：妳現在已經知道…… 數學家並不是無端的要把極限的定義寫的這樣猙獰醜陋又咬文嚼字，相反的，只有這樣子的定義，才能把宋國解脫，才能讓魯班低頭，才能把極限存在的證明劃下句點，否則將永無止盡。也只有這樣看似玄之又玄，實則清澈乾淨的定義，才能放諸四海皆準，否則甲的說詞是一套，乙的說詞又是一套，『要多接近有多接近，且不碰到』這是一番含混曖昧的話語，不是嗎？妳再看看同樣打混的話，總兵大人前幾天跟我這樣說：『很接近，但不是0啦！所以可以放在分母求切線斜率……啊！就說不是0啦！我問：『那到底是什麼？是數字嗎？是幽魂嗎？』他說這有什麼好問的，因為……他……也回答不出來，反正他氣急敗壞的不斷辯解：要多接近0就有多接近0啦……』小妍：呵呵～～如今我聽了這番話也覺得有點離譜，剛剛我還沈淪在這種『說詞』當中咧！想不到現在我已脫胎換骨，當然，這都要感謝一休您的調教。我在想：這麼快就能理解並贊同極限的奧義，或許我真具有數學家的天分與素質喔？你說呢！一休……？一休：別傻了，這一切都是幻覺。數學家真能這麼容易當的話，我也不作和尚了！下次換妳教總兵大人喔！呼～～妳瞧，說著說著天都快黑了，修念、珍念想必等到都餓壞了，咱們快回去吧！小妍：嗯，OK！～～～…………ㄚ你怎麼用跑的呀，等等我呀一休～～～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 211.74.121.249 ※ 編輯: yonex 來自: 211.74.121.249 (03/13 01:37)