Re: 空大微積分

看板tutor (家教)作者yonex (戴奧尼索斯)時間18年前 (2006/11/11 02:14)推噓4(4推 0噓 5→)

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※ 引述《k831457 (learner)》之銘言： : 連接每日股票加權指數的走勢線圖，成為一鋸齒狀圖， : 其可否構成一可微函數？說明理由？ : 請教一下，謝謝分兩個level回答，第一段是高中生層次，也可能是原PO想要的答案而第二段，主題非常的龐大，寫成一本書都毫不為過在假設讀者有一點數學素養的前提下（類似工程數學），不得不略過許多細節我以為對數學（科學）有點興趣、熱誠的人，真的可以咬牙看一下， 1. 在大一初等微積分裡面，區間一次可導的意思，指的就是區間內「差商的極限存在」股票走勢圖是人為的連續函數，存在可數個corner（鋸齒圖的尖點都是corner）在該點臨域，左導數與右導數同時存在並相等，是極限存在的充要條件顯然corner鄰域差商的極限不存在，所以股票走勢線圖並非處處可導 2. 我對自己發誓，在可能的範圍裡我要把以下的東西寫得盡量簡單，用到最少的數學，講述最通俗而也還算有趣的一些觀念聲明在先啦！本人並沒有受過專業機率與統計的訓練我走的是比較偏純焠數學分析的路線，這個論題顯然並非我的專長（並且也太大了）一個外行人實在不應該在這裡胡說八道，但對「非線性現象」，以及前一篇文章所提到關於「不可導微點」，繼而產生的諸多聯想....我有意要在這裡跟大家分享.... 講一點點自己對於非線性現象所認知到的皮毛由此，這篇文章容或尚存可取之處吧... OK～對於不可導微有進一步的認識，是我大二在研讀高等微積分時，兩條著名的例子引起我不小的震撼，一個是1930年Van der Waerden所構造的處處不可導微之連續函數一個是Peano曲線這兩個個例子我以為研究過他們的人，肯定都感到非常驚異，從而沿展出一系列的理論，便是最近幾十年方興未艾的Fractal Analysis的基礎之一 (這兩個例子是所謂的fractal set) 很長的時間以來，人們只重視那些可以用經典微積分進行研究的函數類像是White Mountain function、Waerden or Weierstrass functions、 Peano Curve等不可思議的古怪函數，都是處處不可導的，微分學完全無能為力但是近代的研究所涉獵到自然界基本的現象，大都是隨機的、處處不可導微的、不光滑不規則的幾何構件例如：粒子的Brownian motion、turbulent、高度無規則的材料裂紋、雲彩邊界、腫瘤邊界、纖維化組織、破碎海岸線等等 Fractal Analysis理論是目前「比較」可以處理非線性混沌現象的分析工具但是這理論處理的對象，無論是在大域、局部都錯綜複雜，以致無法滿足簡單方程組的解集，甚至無法用經典數學語言描述，很多人的努力似乎遇到瓶頸，就目前看來也不怎麼樂觀啦.... Fractal的東東相當有趣，因為我是學分析的，這方面我認識比較多一點點，在這裡我卻不打算再多說了，有機會我倒願意寫些這方面的科普文章有興趣的人可去借閱K.J.Falconer的名著---碎形幾何—數學的基礎與應用，這是一本不可多得的佳作，提供給大家參考..... 現在要回到原來的主題，股票金融的數學分析，這是一門新興的數學領域，用到的工具很多包括接下來會提到的Stochastic Analysis or Calculus，也是一種非線性分析的方法在這個領域裡，微分與積分是依據stochastic process而定義，這不是三言兩語可講清楚的... （stochastic process是一門機率學裡的專門學問， measure theory、real analysis、probablity theory大致上都是必備基礎）這方面我的訓練很短缺，而在股票金融分析方面，我更是連製造錯誤的資格都沒有.... 不過這並非完全是壞消息，因為我是外行人，外行人講話有他的好處，那便是老嫗可解財務工程，股價這種隨機過程是一種非線性行為理論分析的出發點大致上是從Brownian motion開始，（財務界以Geometric Brownian motion 來描述股價、油價、匯率等財務上重要變數的時間序列）機率數學家有一批是研究Stochastic mechanics， Brownian motion是重要的例子國內數學家，像是過去的楊維哲、還有蔡聰明、張志中等都研究過這方面的主題無論是股票價格、Brownian motion...等都是跟隨著Markov process 在這個stochastic process裡，Martingale Representation Theorem尤其重要這理論在在收斂定理、停時理論、機率論、數理統計等領域都有重要應用，業已發展到相當程度，Brownian motion、股票價格都是一種martingale 伊藤stochastic integral 是令at least one random variables X and Y 變數為一般的martingale 從而建構出這種stochastic process下的calculus 他的微分方程式（geometric Brownian motion）在機率論裡面佔有最重要的地位 dX_t＝a(t,X)dt＋σ(t,X)dW_t X_0＝ξ 其中W_t為Brownian motion，為random variable 財務研究人員開始將股票價格的變化，與數學上布朗運動所描述的微粒子動態軌跡的數學模型相互連接，之後，以布朗運動來描述股票價格的動態軌跡，成為財務上連續時間(Continuous-Time Finance)研究的重要基礎。而最重要的偏微分方程式無疑是Black-Scholes-Merton偏微分方程式。其實就是把geometric Brownian motion變數代以財務金融指數， dX_t為瞬間股價之變動，σ是股票的瞬間波動度，W為Wiener process a是股票的瞬間期望報酬將微分方程配合Ito's Lemma (這Lemma其實就是數學上二階泰勒展開式在財務上的應用，有測不準原理的精神)，總之，經過一番推導之後得到Black-Scholes-Merton偏微分方程（過程用到一些金融學的東東，像是Delta Hedging Ratio等，我毫無概念...>"<）這個方程式看不懂沒關係，這不是我文章的本意，但為求完整性還是把他寫下來，此方程意外的跟某物理現象有極神似的類比 dV 1 d^2V dV ---＋---(σS)^2 ---- ＋rS ----－rF＝0 dt 2 dS^2 dS 這就是財務上著名的Black-Scholes-Merton偏微分方程式。研究微分方程或物理的人，很容易直覺到reaction-convection-diffusion間的關連在B-S-M Eq.中，前兩項對應到擴散（diffusion）第三項V對S的一次微分，可視為傳達（convection）最後一部分可視為反應項（reaction）整體來看，這就是個完整的reaction-convection-diffusion model，事實上，Black-Scholes-Merton偏微分方程式就像是污染物隨著河流擴散，而有部分被河底泥沙吸收的物理模型：水中的擴散為擴散項、水流為傳達項、河底泥沙吸收為反應項。這種細膩的關聯一定不可能只是巧合，但是想一想Black-Scholes-Merton方程式的源由，也就不至於讓人感到太大的意外 Black-Scholes-Merton偏微分方程式的應用相當廣，什麼選擇權呀有的沒的... 但這不是我的本行，也不是我關心的重點，畢竟我是一個搞分析的學生在這裡我只是想提幾個非線性分析的方法，給大家個窗口「以管窺天」一下而這些現象並不是經典微積分可以解決的，二十世紀以降.... 許多的數學家做出偉大的貢獻，累積太多成就，接近言語無法形容的地步只是，非線性渾沌世界裡，目前尚未出現一個牛頓來撥開雲霧... Navior-Stokes Eq.還是未解，不是嗎？許多研究者，搞理論的、做實驗的，都在努力拼湊出大自然的真相... 在謎底揭曉之前，理工科的學生可說是「受益」不少呀... 要寫篇畢業論文搞個學位實在不是件難事，弄一些邊界條件來作作數值分析... Finite Element、Finite Volume一下就可以升等搞學位了，這種老方法對付新問題是不可能推動科學革命的巨輪巨輪只能由巨人的genius idea來推動，三百年前的人若見識當今科技，想必是瞠目結舌，這不得不感謝微積分的發明解開大自然的奧秘，使文明「百日銳於千載」想像非線性理論的「金鑰匙」若一旦被找到，這世界會有怎樣翻天覆地的巨變呢？ Newton、Euler、Gauss、Riemann、Maxwell、Einstein... Their Great Moments animate scientific revolutions but humdrum like us may turn out paper-pollution merely... 嘖嘖～～瞻仰科學巨人的偉大與認識自己的渺小，這也是蠻重要的體會呀，不是嗎？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.70.88.163