[閒聊] 老師！我有問題 part.1（綜合解答上篇）

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/03/21 00:04)推噓5(5推 0噓 0→)

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我把各位的解釋取各家所長（這只能用我主觀判斷）寫成一篇對話錄....（本文只回答了a～f）除了各位的意見外，我也發表了自己想法.... 我虛擬了一個對數學真理有熱烈渴求的孩子，他的名字叫child 他提問直接而莽撞，甚至還有一點不太禮貌任何稍微模糊的解釋他都拒絕接受...是一個腦袋充滿疑問與勇氣的學生然而我們應該包容他的無禮，因為我們的教育環境沒有讓他有『問號』的空間.... 學校老師怎麼講的、教科書是怎麼說的....『這是定義，不要問為什麼！』這些問題雖然是我一時之選，但我武斷的以為：任何一個對數學真理仍保有堅持與渴求的心靈，必定對其產生疑問... 台灣的學生都曾有過child心中的問號！台灣的學生卻不會有child有具有的勇氣與堅持.... 紛沓而致的考試....壓下了學生心中十萬個為什麼..... 我們以前都在努力考試，現在也教導著下一代如何考試... 最後....大家就什麼都不懂.... 所以我虛擬了這個人物，各位提供了問題解釋，而PTT給了孩子吶喊的舞台... ------------------------------------------------------------ child：老師！ 1 為什麼不是質數？我知道這是定義，但你必須說服我為何需要這樣定義？ ayulmfans：有一個定理很有名，叫『算術基本定理』算術基本定理：每一個大於1的正整數，都『必定可以』『唯一』寫為質數的乘積這個定理太重要，並且重要在那兩個字『唯一』！為了這個『唯一性』！我們必須把 1 排除在質數之外，否則，12表達為『質因數連乘積』（標準分解式）便有無限多種可能性 12＝1x(2^2)x3 也可以是(1^2)x(2^2)x3 ..... 可以是很多種...乃至於無窮多種這樣便喪失了唯一性.... yonex：ayulmfans老師說的沒錯，喪失唯一性，那就只剩那句『必定可以』的『存在性』『算術基本定理』的精神少了一半，因此權宜之計最好是定義 1 不是質數！ child：好吧！我暫時認同好了，畢竟兩個老師都出馬了... 只是『負負得正』這件事情實在是讓我感到困擾呀？很不直觀呀，在日常生活上無法類推呀？求矩型面積不會遇到『負的長度』呀？ yonex：很好，你講到了一個重點，那就是『面積』。『乘法一開始的源由』就是因為面積而生的。只不過，數學這東西很有趣....她所給予的會比你所想要的多。你在做代數運算時，總是會用到乘法...這時你心裡並不會想到面積，乘法的創造源自於面積，但是這個運算所發揮出來的遠比只能算面積還要多的太多了你承認這一點，就不會對『負數乘負數』這個行為感到意外.... 在回答你這個問題之前，我必須要你接受一件事情，那就是『分配律』『分配律』是一個公設，如同『乘法交換律』『加法交換律』一樣，是一種公設... 公設是『不證自明』的....幾乎可以說不能問為什麼它成立... 同一個矩型，『長乘寬』當然等於『寬乘長』（乘法交換率）一個被分割成兩個小矩型的大矩型，大矩型的面積當然等於兩個小矩型面積的總和（分配律）如果你接受了『分配律』這個公設，那麼『負負得正』就會是必然的事實 waterworld0：以下就由我來推導吧！假設你已經接受了『分配率』，也就是 (A+B)xC = AxC + BxC 那麼.. 0＝（－1）（1－1）＝－1+（－1）（－1）為了讓上面那個分配率成立的式子是真的.....所以（－1）（－1）＝1 yonex：waterworld0老師的推論是正確而標準的，我順便提供一個....在生活上可以類比『負負得正」的說法給這個好奇寶寶參考取自葛登能（M.Gardner）的書.... ------------------------------ 『增加』代表『送人進入禮堂』『減少』代表『叫人離開禮堂』『正數』意指好人『負數』意指壞人『增加負數』就是『把壞人送入禮堂』，這行為減少了禮堂內優質的淨值『增加正數』就是『把好人送入禮堂』，這行為增加了禮堂內優質的淨值『減少負數』就是『把壞人送出禮堂』，這行為同樣增加了禮堂內優質的淨值『負一乘負一』代表把一個壞人送出禮堂優質的淨值增加了 1 『負三乘負五』代表把五個壞人送出禮堂，如此做三次...優質的淨值增加了 15 （-3x-5＝15） ------------------------------ child：我想我能體會了，可是請別以為我準備放過你們了.... 有一個數學運算就做階乘，我第一次遇到它，是在高中排列組合那一章請讓我丟下這個問題：為什麼 0!＝1？ waterworld0：這有什麼問題，你已經學過排列組合了... 應該可以對這件事情感到直觀吧！ 0個東西排列只有一種方法..... child：既然是0個東西，那就是『空無』，還講什麼幾種可能呢？我是個任性的小孩....很挑剔的！無法接受這樣的解釋.... kh749：或許我們可以從排列的定義來看... n個東西取其中r個，拿來排列，我想你一定知道怎麼推導出以下的公式 n! P(n,r)＝n(n-1)(n-2)(n-3)....(n-r+1)＝ --------- （n-r）! 那麼如果全部都取來排呢？根據你所推導的公式 n! n! P(n,n)＝n(n-1)(n-2)(n-3)....1＝n!＝ --------- ＝ ---- （n-n）! 0! 所以定義 0!＝1是必然的... 這正是『理有必至，所以事有必然』，但是我們還學要著：知其然且知其所以然 child：我想我瞭解了，當然還需要時間消化吸收一下... 只是...我問題又冒出來了：為什麼當 a 為非零實數時，a^0＝1？... 又，當a為0時，學校老師說無定義！他在鬼扯什麼呀？！什麼都沒講就硬塞給我！本人拒絕接受.... ayulmfans：或許我可以用極限來解釋.... child：請不要用我聽不懂的東西來對我說教.... yonex：我個人認為以極限來解釋是不妥的，基本上指數的運算是中小學的課程極限的解釋對學生負擔過重，而更重要的是....指數運算的創造已經有幾千年的歷史了，遠遠在早於極限 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 極限觀念的創造，如果不能解釋任何『先於它的數學理論』那麼極限概念....會被迫『不相容』於其他數學體系...（會產生矛盾） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 舉例來說：大學生學微積分，可以用『定積分』算『矩型面積』那麼難道可以用『定積分』來解釋...矩型面積的公式是長乘寬嗎？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 拿較深、較高層、的數學概念...來解釋它所站立的基礎...在數學上是不被允許的數學家發明數學想法，的確會『反演運算』到基礎去... 但那是為了檢驗這個『新數學』，有否和數學的基礎發生矛盾... 若有...新數學會被『歸謬』否定掉.... 較深的概念是不能拿來解釋較基礎的概念的.... 如同我們不能用複變分析來論證實變分析中的定理... kh749：我來回答好了...a^m代表 a 連乘m次，這是一種方便的記號... 這件事實很重要：（a^m）（a^n）＝a^(m+n) → 這根本是乘法結合律好了，那指數的除法呢？因為 1／（a^m）＝a^（-m）指數的除法就解決了（a^m）÷（a^n）＝（a^m）／（a^m）＝a^(m-n) a^m 那麼 ------＝1＝a^(m-m)＝ a^0 所以 a^0＝1 a^m child：你這樣是在『繞圈圈』，你說 1／（a^m）＝a^（-m），於是把 a^0 ＝1 這個疑慮解決了，但是卻又多出另一個問題... 那就是 a^（-m）是什麼？你說 a^（-m）就是....把 a m次方後放到分母！嘖嘖～～指數變負號，為什麼會變到分母？老師，你只是把問題轉移目標而已..... 把 a^0 ＝1 這個問號轉移到 a^（-m）是什麼？如果說你是為了解決 a^0 是什麼，而定義 a^（-m）＝1／（a^m）那麼乾脆一開始就定義 a^0 ＝1，問題不就解決了.... 我是死小孩，你必須說服我，我拒絕接受這樣的解釋.... kh749：child，你怎麼這麼小就這麼頑固.... yonex：孩子，kh749老師這樣的解釋不能說有錯... 你很挑剔，不過還好你邏輯觀念不錯。我順著你的理路走看看.... OK！我們回頭看一件大家都不爭的事實... （a^m）（a^n）＝a^(m+n) 這個事實基於乘法結合律， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這個式子很美，各位可能不怎麼覺得..... 她可是把『乘法變加法』的式子，是一個『化繁為簡』的式子這個式子所延伸出來的理論，讓人們做出了『對數』、『對數表』、『計算尺』在沒有計算機的年代，對數的重要性實在無法形容.... （加速了文明的進步與『延長科學家的壽命』！）我們無論如何『必須』讓這個美妙的式子成立！假設我們什麼都不懂，只知道乘法的結合率那麼....a^m中，m、n必須是正整數，a必須大於零（此外的東西我們什麼都不知道） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 也就是說，你問我 a^(-1)是什麼？我沒辦法回答... 我只會乘法結合律，a^(-1) 在乘法結合律中看不出端倪..同樣 a^0 也是... a^(1/2)呢？抱歉，目前我無法定義..... 我只知道 a^2＝axa a^3＝axaxa 所以(a^2)(a^3)＝axaxaxaxa＝a^(2+3)＝a^5 在只知道乘法結合律與指數表達法的前提下我們就可以寫下這個重要的式子（a^m）（a^n）＝a^(m+n) m、n必須是正整數，a必須大於零 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 並且無論如何，我要保持這個式子.....不惜代價很快的問題來了...a^0 是什麼？（心裡牢記：（a^m）（a^n）＝a^(m+n)要保持） (a^m)(a^0)＝a^(m+0)＝(a^m) 所以定義『a^0＝1』很好！只是馬上又遇到問題了.....指數若是負整數呢？（心裡牢記：要保持式子） (a^m)(a^-m)＝a^(m-m)＝a^0 我剛剛定義過『a^0＝1』了哦～～所以 (a^-m)＝1／(a^m) 以後遇到指數是負的，就直接翻到分母...太好了現在我的m、n已經由原本的自然數，拓延到全部整數....使得式子依然成立！孩子，這樣就解決了你剛剛心中的疑慮，也解決了『繞圈子』的問題... 我知道你想問：m、n可以繼續拓延到其他的數（例如有理數、無理數等），使得式子依然成立嗎？答案是可以的...但是請原諒我無法在這裡繼續論證下去但是我可以透露：只要a＞0 ，m、n可以拓延到整個實數使得式子依然成立.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 而當a＜0時，m、n只能拓延到整數為止...而使得式子依然成立... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那麼 a＝0 的狀況呢？ 0^m＝？如果 m≠0 這個問號很容易解決，0無論幾次方當然都是0 很快的 m＝0 呢？也就是 0^0＝？老師和教科書都說無定義！其實他們應該說一說為什麼的.... 根據換底公式： 0^0＝10^(log(0^0))＝10^(0log0) ^^^^ log0是負無窮大（－∞），基礎數學不認為∞是『實數』，我們只討論實數的數學所以 0^0 無實數定義，所以無定義... child：你講了很多，我想我該同情一下你... 暫時接受好了但不保證等我理解你的長篇大論後，會不會繼續鑽你漏洞繼續挖問題等等...我又有問題了 yonex：你也等等....我是人，是人都要休息的....所以我要休息。現在時候不早了，明天我可還要上學... 疑問留到下回分解吧... child：哇～～～三段式論證耶！我懷疑這種邏輯的合理性... 不過還是讓你休息一下吧... 待續..... -- 與柏拉圖為友，同阿基米德談心...請您愛真理勝過於愛老師... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/21 04:36)

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