Re: [討論] 數學歸納法

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/04/04 06:19)推噓2(2推 0噓 1→)

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※ 引述《jubilee (Liang)》之銘言： : 1. 英文是mathematical induction....所以的確是演繹法 : 中文有誤導之嫌數學歸納法的本質就是演繹，並不是歸納.... 數學歸納法可以用來證明定理，但對於定理（公式）當初如何得來的，卻無法提供任何提示.... 關於這一點，以後我有機會再寫專文討論.... 數學歸納法要講的稍微詳細，那肯定是非要寫成一本小書才做的到形式上有很多種面相與變形，包括逆向數學歸納法、強數學歸納法、彈跳式的數學歸納法...等等我的學識很貧弱，表達更是不堪....一本小書是不可能了到時寫個短篇專文聊表己見，倒勉強是可勝負荷.... : 2. 數學歸納法的應用範圍不完全是自然數數學歸納法是利用自然數系性質去證明定理的『特殊證明方法』說法是這樣： ----------------------------------------- 令A_n為一敘述且與自然數 n 有關 1.對某一自然數n_1，A_n_1成立（n_1不一定必須是1），且 2.對每一正整數 k≧n_1，若 A_k成立可『演繹』出A_k+1成立便可能對於所有 n≧n_1，敘述A_n皆成立 ----------------------------------------- : 數學歸納法的過程為 : a. 證明n=某數時等式成立（某數必須為實數） ^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ : b. 假設n=k時等式成立 ^^^^ : c. 由b證明n=k+t時也成立（t並不限於1 只要是實數即可） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 以上做記號的地方均有誤... ------------------------------------------------- 我們不能自己任意把數學歸納法使用直覺去陳述 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 除非我們『新的陳述』可以證明跟數學歸納法（Peano第五公設）等價 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 數學歸納法完全等價於自然數系的『良序性原理』（well-ordering property）自然數系非空子集必有最小元素，稱為自然數系的『良序性原理』，例如：｛2，3，7，199｝具有最小元素 2）由此可見自然數系良序性原理相當直觀，基本上他可以是個公設。當我們接受他是公設時，可以拿來證明數學歸納法換句話說，數學歸納法在某個公設系統的觀點下是要『被證明』的... 當然也可以反向論證，最後得到等價敘述的結論.... 數學歸納法許許多多面相的敘述，都需要被證明為等價後方可使用也因此一旦使用後就不可以隨意更改其文字內涵與精神實數不具備良序性原理，而『正有理數』有良序性，但無後繼者，閣下的說法，無異於提出了一個數學定理的『假設』，但將會被推翻是可以預期的... 原因討論起來雖非長篇大論，卻也不是三言兩語就可以解決... 請恕我暫且停筆，容他日再多嘴了.... : Ex. 要證明n^2>3*n 明顯可知n必須大於三這個例子對於 n＞3的實數均成立不可使用數學歸納法，因為數學歸納法的本質在於自然數系的性質實數系的基數＞自然數系的基數（可以想像實數的骨牌多於自然數的骨牌，用自然數的骨牌推不完實數的骨牌）本題不適用數學歸納法，可使用直接證明法證明之.... : 3. 數學歸納法一次只能證明一邊（往右或往左） : 使用兩次可拓展至負無限大到正無限大原則上是可以的，最好是舉例子出來... 通常對於整數成立的定理，我所知道的都是用直接證明法（這很可能是我的孤陋）雖然我沒親眼看過這種數學歸納法的例子... 不過在下以為.....對於整數恆成立的例子，若要使用數歸去證明... 定理本質上該是有對稱的性質因此使用兩次數學歸納法跟一次並沒有什麼不同，所以變成只是....原命題加個絕對值的問題而已..... 若是沒有對稱性，自然以很難『歸納』出什麼結論使用直接證明法或間接證明法（歸謬法）是反射性的直覺吧！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.110.216 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.110.216 (04/04 10:38)