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[請益] 一題三角形的題目

看板CS_TEACHER (補教老師)作者 (美國海岸巡防隊)時間17年前 (2008/12/02 23:25), 編輯推噓38(38推 0噓 56→)
留言94則, 16人參與, 最新討論串1/1
今天翻到一個題目，但是竟然卡住想不出來， 偏偏又剛好找不到那個題目的解答，因此上來向板上高手老師請教。 問題是這樣: 三角形ABC的周長為60， __ __ __ 內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小， __ __ __ 則AP+BP+CP=? 謝謝各位高手的指點。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.121.5.143
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12/02 23:31, , 1F
又是P 重心垂心中心等等等永遠分不清楚 冏
12/02 23:31, 1F
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12/02 23:32, , 2F
我是說我~~~我是數學白癡 :P
12/02 23:32, 2F
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12/02 23:33, , 3F
我是想要知道答案，個人是覺得條件可能不足，但我想應該
12/02 23:33, 3F
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12/02 23:34, , 4F
有高手可以解答~~
12/02 23:34, 4F
推
12/02 23:34, , 5F
應該不是國中的三心~~~~也不是垂心
12/02 23:34, 5F
推
12/02 23:35, , 6F
是...內接圓 圓心P 吧 ， 第一感 ，很久沒算了
12/02 23:35, 6F
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12/02 23:36, , 7F
不知道對還是不對...XD
12/02 23:36, 7F
推
12/02 23:38, , 8F
重心吧= =....雖然我不是數學老師...
12/02 23:38, 8F
推
12/02 23:38, , 9F
我想到的是外接圓圓心耶XD 到三頂點距離相等~~
12/02 23:38, 9F
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12/02 23:40, , 10F
還有外接圓耶 更冏 高手快出來~
12/02 23:40, 10F
推
12/02 23:40, , 11F
印象中... 內接圓到三邊距離最短
12/02 23:40, 11F
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12/02 23:40, , 12F
ㄜ...是外接圓 因為是三頂點到P吧
12/02 23:40, 12F
推
12/02 23:41, , 13F
內接圓是到三邊，不是到三頂點~~~~所以內心不是
12/02 23:41, 13F
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12/02 23:41, , 14F
另，他說是在三角形內部~所以也不會是外接圓(外心)
12/02 23:41, 14F
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12/02 23:42, , 15F
題目說AP+BP+CP為最小 所以是外接圓圓心
12/02 23:42, 15F
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12/02 23:42, , 16F
囧..不是喔... 那我數學變差了
12/02 23:42, 16F
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12/02 23:43, , 17F
題目是不是 正三角形就有答案了XD..
12/02 23:43, 17F
推
12/02 23:44, , 18F
三角形內一點到三頂點距離和，小於周長，大於周長之半..
12/02 23:44, 18F
推
12/02 23:44, , 19F
忍不住想說 是內切圓 不是內接圓..^^"
12/02 23:44, 19F
推
12/02 23:45, , 20F
誤打XD~~~ㄐ跟ㄑ差一點XDXD~~~
12/02 23:45, 20F
推
12/02 23:45, , 21F
XD... 是內切嗎?
12/02 23:45, 21F
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12/02 23:45, , 22F
看到這一題腦袋閃過這個性質@@，剛吃完宵夜，等等再想.:P
12/02 23:45, 22F
推
12/02 23:50, , 23F
是求值還是求範圍??我也只知道他們會大於30!
12/02 23:50, 23F
推
12/02 23:50, , 24F
20√3 應該?
12/02 23:50, 24F
推
12/03 00:01, , 25F
３０
12/03 00:01, 25F
推
12/03 00:03, , 26F
這題可以旋轉三角形證明 反正 反正P點到三頂點夾角皆120度
12/03 00:03, 26F
推
12/03 00:06, , 27F
20√3 沒錯 ^^
12/03 00:06, 27F
推
12/03 00:07, , 28F
還需要想嗎??答案就是20√3沒錯呀!!第五冊第三章第三節
12/03 00:07, 28F
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12/03 00:11, , 29F
摳摳你好狠喔~~ 怎麼這樣啦 我沒課本ㄋㄟ
12/03 00:11, 29F
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12/03 00:12, , 30F
專業的出現了><樓上幾個專業
12/03 00:12, 30F
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12/03 00:12, , 31F
答20√3的大大們，如果是16/16/28的三角形我就已經看到更小
12/03 00:12, 31F
推
12/03 00:14, , 32F
16/16/28是鈍角三角形 P會在外面
12/03 00:14, 32F
推
12/03 00:15, , 33F
COCO大～題目沒要求要什麼心..........為啥要跑去外面
12/03 00:15, 33F
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12/03 00:15, , 34F
題目說△ABC內部一點P 只有銳角三角形才可以
12/03 00:15, 34F
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12/03 00:16, , 35F
.......................鈍角三角形內部不能有點Ｐ？
12/03 00:16, 35F
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12/03 00:16, , 36F
正三角形的外接圓會有最小值 即r有最小值r=PA=PB=PC
12/03 00:16, 36F
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12/03 00:18, , 37F
鈍角三角形內部找不到一點P使得PA=PB=PC 懂嗎??
12/03 00:18, 37F
推
12/03 00:19, , 38F
不一定是20√3，三角形不一定是正三角形。
12/03 00:19, 38F
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12/03 00:19, , 39F
coco大～題目也沒要求PAPBPC相等啊...
12/03 00:19, 39F
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12/03 00:19, , 40F
鈍角三角形要在外部才能找一點P使得r=PA=PB=PC
12/03 00:19, 40F
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12/03 00:19, , 41F
請用GOOGLE搜尋"費馬點"。
12/03 00:19, 41F
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12/03 00:20, , 42F
要使得PA+PB+PC有最小值必須是PA=PB=PC
12/03 00:20, 42F
推
12/03 00:21, , 43F
我的看法是三角形越接近15/15/30，PAPBPC和越接近３０
12/03 00:21, 43F
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12/03 00:22, , 44F
題目並沒有說是正三角形，這才是我問題所在...
12/03 00:22, 44F
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12/03 00:22, , 45F
個人直覺就是條件不足以解出答案，應該是題目出錯。
12/03 00:22, 45F
推
12/03 00:23, , 46F
題目不需要跟你說它是正三角形 你要自己判斷
12/03 00:23, 46F
推
12/03 00:24, , 47F
那...事實上也真的找得到小於20√3的情況啊...coco大～
12/03 00:24, 47F
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12/03 00:26, , 48F
可以請coco老師貼一下詳解嗎?萬分感激!
12/03 00:26, 48F
推
12/03 00:30, , 49F
簡單來說就是求正三角形的外接圓半徑
12/03 00:30, 49F
推
12/03 00:30, , 50F
這題根本跟外心扯不上關係，是費馬點!
12/03 00:30, 50F
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12/03 00:31, , 51F
如果是求正三角形外接圓半徑當然就是20√3，問題是如何
12/03 00:31, 51F
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12/03 00:31, , 52F
得知這是正三角形呢?
12/03 00:31, 52F
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12/03 00:31, , 53F
可以各自貼做法回文一篇嗎? 降吵誰看得懂啊
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12/03 00:31, , 54F
可以請解出來的老師回詳解嗎? 感恩!
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推
12/03 00:31, , 55F
coco 誤會題目了吧..題目應是"對任意的周長為60的三角形"
12/03 00:31, 55F
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12/03 00:31, , 56F
你們的任務就是要把我這個數學白癡教會~~ 才是真本事
12/03 00:31, 56F
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12/03 00:32, , 57F
請利用兩邊和大於第三邊 可以證出銳角三角形的外接圓最小
12/03 00:32, 57F
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12/03 00:33, , 58F
我沒誤會題目呀~~~
12/03 00:33, 58F
推
12/03 00:33, , 59F
可愛大～沒人在吵～coco大可是很專業的～
12/03 00:33, 59F
推
12/03 00:33, , 60F
這題跟外接圓無關.
12/03 00:33, 60F
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12/03 00:34, , 61F
內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小 <==這句話可以判斷
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12/03 00:35, , 62F
AP=BP=CP=R外接圓半徑 可以使AP+BP+CP有最小值
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12/03 00:35, , 63F
其中銳角三角形的外接圓半徑是最小的
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12/03 00:36, , 64F
銳角三角形中的正三角形 可以讓AP+BP+CP為最小
12/03 00:36, 64F
推
12/03 00:36, , 65F
上面有老師說了，這是費瑪點問題，P跟著三角形內角而變動
12/03 00:36, 65F
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12/03 00:37, , 66F
若有一內角不小於120度，則P在該內角的頂點
12/03 00:37, 66F
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12/03 00:38, , 67F
若三內角均小於120度，才是coco大的解法..
12/03 00:38, 67F
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12/03 00:38, , 68F
12/03 00:38, 68F
推
12/03 00:38, , 69F
我懂了，coco大的觀點是外接圓半徑是題目最小值 與 鈍＞銳
12/03 00:38, 69F
推
12/03 00:39, , 70F
費瑪點應該不是國高中生教材有教過的東西吧~~
12/03 00:39, 70F
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12/03 00:40, , 71F
矛盾的地方在於雖然鈍角三角形的外接圓半徑和 大於 銳角三
12/03 00:40, 71F
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12/03 00:40, , 72F
但是不表示鈍角三角形內部就找不到其他點可以讓 APBPCP更小
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12/03 00:40, , 73F
所以有一角大於120度跟三 個角均小於120的答案各是多少?
12/03 00:40, 73F
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12/03 00:41, , 74F
所以我才要問到底是不是題目出錯...
12/03 00:41, 74F
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12/03 00:42, , 75F
費馬點以前高中數學的學資有提過。
12/03 00:42, 75F
推
12/03 00:44, , 76F
先去睡覺了 明天再看看有什麼欠思考遺漏的地方 大家晚安
12/03 00:44, 76F
推
12/03 00:44, , 77F
以這題的出法，條件只夠解出如coco大的答案吧
12/03 00:44, 77F
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12/03 00:45, , 78F
我還是覺得是３０.００００００００００００００００００１
12/03 00:45, 78F
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12/03 00:47, , 79F
ptr應該是對的...剛去找到同一題，是選擇...它答案是31~
12/03 00:47, 79F
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12/03 00:47, , 80F
其他答案不是比30小就是比31大，看來是題目設計欠妥。
12/03 00:47, 80F
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12/03 00:50, , 81F
很感謝各為老師熱情的討論，這裡真的很有溫暖。
12/03 00:50, 81F
推
12/03 00:53, , 82F
不客氣～有問題就討論討論吧～
12/03 00:53, 82F
推
12/03 01:09, , 83F
dannisku正解
12/03 01:09, 83F
推
12/03 03:44, , 84F
如果是選擇題的話 請找比30大又最小的答案
12/03 03:44, 84F
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12/03 03:44, , 85F
理由是 AP+BP>AB
12/03 03:44, 85F
→
12/03 03:45, , 86F
BP+CP>BC
12/03 03:45, 86F
→
12/03 03:46, , 87F
AP+CP>AC => 2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA=60
12/03 03:46, 87F
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12/03 03:47, , 88F
所以 AP+BP+CP>30 上面的解釋只用三角形兩邊和大於第三邊
12/03 03:47, 88F
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12/03 03:47, , 89F
以正常國中程度來說 應該是比較容易的解釋方法
12/03 03:47, 89F
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12/03 03:48, , 90F
當然選項只有一個大於30最好。
12/03 03:48, 90F
推
12/03 12:01, , 91F
http://myurl.com.tw/1o1m 這個很詳細 ,學而不思則罔 慎之
12/03 12:01, 91F
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12/03 12:58, , 92F
感謝樓上
12/03 12:58, 92F
推
12/03 13:01, , 93F
所以這題沒有正確答案 只能說大於30的最小值囉??
12/03 13:01, 93F
推
12/03 23:19, , 94F
你已經說出正確答案了 = =
12/03 23:19, 94F
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