Re: [請益] 國一數學請益

看板CS_TEACHER (補教老師)作者reko076 (Apostol好難)時間10年前 (2015/12/09 14:55)推噓0(0推 0噓 2→)

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先解結論：我覺得這個題目沒有漂亮的解法甚至要"證明"270就是答案，也就是 "對所有比270小的正整數n，必然存在一整數k，k=0~9，n的正因數的個位數都不等於k" 這件事情都有些棘手，寫個程式從1檢查到270當然可行，但有限時間內用紙筆計算呢？數學知識可以讓找答案的步驟簡化，但仍然無法很好地"證明"270就是答案如果我非得要解這題給學生看(真心認為這題對準備指考學測的幫助近乎於0) 我的方法跟原PO會類似，我會先把0~9寫出來，把1劃掉不考慮(1是任何數的因數) 這題必須要有一種動態的想法，答案是寫成質因數分解，但隨時要把數字丟進丟出起點：2跟5一定要放進去的原因是因為要造出0 但0 1 2 5 這幾個數字彼此相乘(包含2的任何正整數次方)只能造出個位數 0 1 2 4 5 6 8 還缺 3 7 9沒有被cover到所以勢必要引入3 and/or 7 等質數 11或13等更大的質數沒有必要丟進去，因為我們只看個位數 2^a * 3^b * 5^c * 7^d c=1 因為5^2=25個位數還是5 c放2無法多cover更多的個位數 b+d (3跟7的冪次)一定要大於1理由如下：如果b=1 d=0 3*5個位數還是5，3*2^a個位數還是偶數 (奇數至少有3 7 9 必須cover到) b=0 d=1結果也一樣。所以3或7至少要放兩個(3^2, 7^2, 3*7)進去否則3 7 9 cover不完偶數的世界先不管，奇數的世界只能奇數去相乘起來(偶數一摻進去就會變成偶數) 要cover 3 7 9就只能靠奇數，但5又靠不住(因為5乘奇數之後個位數都是5) 所以我們就從3^b * 7^d去討論 3的次方(的個位數)：3 9 7 1(1就過頭了，循環到底了) 7的次方(的個位數)：7 9 3 1(同上) 所以要cover 3 7 9三個個位數可以有兩個數字應該會比較小的選擇 (b=3, d=0) => 3^3 (b=2, d=1) => 3^2 * 7 前者比較小，上面是我的思路(有點亂，而且不先看到答案的話可能一時找不出來) 把上述思路事後諸葛一下，從觀察到 2 5 一定要放進去答案的質因數分解之後可以不用管要如何去cover 0 2 4 6 8等偶數，因為 (1 3 5 7 9)*2之後個位數就是02468 這麼說13579都有製造出來後02468結尾的因數自然就出來了 13579之中5跟1又可以不必討論，5耍封閉所以一定要有5(但只要1次方就夠了) 剩下379就想辦法用 3^b * 7^d去討論，但是要找"最小值"的必要條件是"有上界" 必須要有一點整數論的了解才會知道說3的次方數(b)不用找到很大 ===== 所以我會覺得這不是一個好的考題，所用到的知識過於瑣碎沒有系統解題又耗時不是要陰謀論但除非學生程度超標，否則實戰寫得出來的可能只有"已經先做過"的學生會出這樣題目的老師有幾種可能性： --不想讓人考100 --想抓出考100的人 (就像有部電影壞人不斷製造災難是為了要揪出死不了的布魯斯威利) --有在外面開班，想製造獨門考題 ※ 引述《stevenyenyen (steven)》之銘言： : 這次學生段考題目 : 且這題是計算題 : 所以我不太能理解計算題該怎解 : 某一數其所有因數之個位數包含0~9,請問某數其最小值為何? : 學生學校老師解法: : [9,10]=90 : 90*3=270 : 看完這兩步驟我只有一個念頭 : 我國中數學全忘了嗎? : 為什麼這樣就有答案... : 問過學生 : 學生答不出所以然 : 我的解法 : 將某數作質因數分解 : 可得某數=(2^a)*(3^b)*(5^c)*(7^d)*................. : 2的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為2 4 8 6 2 4 .... : 3的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為3 9 7 1 3 9 .... : 5的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為5 5 5 5 5 5 .... : 7的1,2,3,4,5,6....次方個位數分別為7 9 3 1 7 9 .... : 題目要求要含所有數字所以因數分解必含1個5 1個2 (因為這樣才有個位數為5和0的可能) : 而個位數為1的因數即a=b=c=d=0 : 接下來含3的3次方即可擁有3 9 7的個位數因數 : 此時2分別乘以3的0,1,2,3次方個位數就有2 4 8 6 : 因此最小的數為2*3*3*3*5=270 : 但是我不認為這個是國一的計算題該寫的過程... : 即使是高中也應該不會有才對 : 個人感覺這題適合的應該是填充題而非計算題才對.. : 想請問有強者可以用國一學生能理解的方式解這題嗎? : 或者幫忙解釋一下學生學校老師的解法... : 因為看到這題我第一直覺就是這樣解 : 但不太認為國一學生能理解這種解法.. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.140.44.16 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/CS_TEACHER/M.1449644133.A.F24.html