[閒聊] 蘇格拉底的數學對話錄（0.999...＝1？）

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/03/23 05:19)推噓8(8推 0噓 0→)

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登場人物：蘇格拉底柏拉圖地點：雅典學院廣場 ----------------------------------------------------------- _ _ 柏：老師，請問 0.9 究竟是不是 1？ 0.9＝1嗎？蘇：我倒問你，他不是1嗎？柏：你可以現在就給我一個答案嗎？撇開您過往的迂回曲折、撇開峰迴路轉好嗎？蘇：不，朋友，即使我有這個能力，也不會這麼做... 這也是為了你的緣故，不努力得來的智慧，幾乎是沒有價值的.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 大家都笑稱我是一個『思想上的接生婆』，其高明的手腕連斯巴達人都耳聞.. 呵呵～～～只是我再怎麼高明，卻無法讓一個不出力氣的產婦誕下生命... 聰明的柏拉圖，我想你一定能體會我的用心與感受.... 柏：親愛的老師，您永遠是對的...請讓我追尋你的腳步.... _ 蘇：0.9 是個數吧？你能回答我他是哪一類數嗎？就你所瞭解的『數』柏：他是有理數，這我很肯定...所有的有理數都可以表達為無窮循環小數。蘇：問題不會這樣就可以解決了！我們需要再更努力一點..... 請施捨你心中的疑問，讓我同你煩惱、同你喜悅..... 柏：是這樣子的，本來這不該是什麼問題，我也從未曾煩惱... 對了....您知道愛琴海上有個PTT島嗎？離特洛伊城沒有很遠...他們是亞特蘭提斯的後裔.... 和詭辯學派（Sophists）不同，他們也同你我一樣信仰理性主義.... _ 總之....那裡盛傳 0.9 的極限等於 1，並且在哲人間廣泛討論.... _ 他們捎來一封信告知...目前進展仍無法突破 0.9 的確切值.... _ 有一位年輕人叫child，他甚至利用自然數的性質證明了 0.9≠1 PTT島的愛智者呀～～，我為他們的困擾感同身受..... 蘇：孩子，現在是公元前五百年，你前衛的思想幾乎沖昏了我現在的你...思緒有太多的雜質，如果妳週遭的空氣聲影雜沓...請沉甸一下心靈。斯多葛派的創始人芝諾（Zeno），他無法解決的極限問題...我們又能奈何呢？ _ 或許問題真的沒有這麼複雜.....誠如你剛剛回答我的....0.9並不神秘呀！ _ 我想再囉唆一次..... 0.9是一個什麼數？柏：他是一個有理數，是一個可比的數！蘇：那我們沒有必要陷入芝諾的詭論，或是重蹈畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的後塵... 畢氏似乎發現了一點有趣的東西.... 柏：正方形的對角線長是不可共度的，換句話說...他們找到了無理數 √2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 為了不撼動畢氏學派理論的基礎，聽說還有人為此犧牲了生命.... 蘇：√2前陣子才被發現，是希帕索斯（Hipparchus）的成就.... 公元前五百年的現在...或許目前這世界上還沒有人真的懂他... 你剛剛所說的什麼『極限概念』....也就是芝諾的那套說詞可能真的有一天會派上用場來解釋無理數的奧妙，甚至更多東西.... _ 但是我們人類目前並不懂極限，而 0.9 這玩意如你之前所認知的.... 並不存在神秘性，他是可愛的有理數，殺小雞不需要青龍偃月刀吧！關於這點...你同意嗎？柏：是的，親愛的蘇格拉底，只是我心中的疑惑仍在..... 蘇：我瞭解。或許我們可以換個角度，讓凱撒的歸凱撒、極限的歸極限.... 想請問....聰明的柏拉圖：你能給我一個最大的自然數嗎？柏：為什麼我們忽然討論起自然數？老師，你又來了...讓人搞不懂你呀！自然數當然沒有最大的....窮盡全人類所有的壽命也舉例不出來... 蘇：追求真理與熱愛智慧的路上，不該有這種武斷式的對話..... 今天....你是來同我討論智慧，還是研究教條？你還記得歸謬法嗎？聽說那是數學家們『精緻的武器』（fine weapon）！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 希帕索斯用他找到了無理數，也就是√2 不可公度的證明... 或許『棄盤戰術』可以幫我們殺出一條生路，要不要試試看呢？柏：希帕索斯為真理付出生命，只怕這種執著將後繼無人.... 我雖天資駑鈍，願意全力以赴，只是老師，你要幫幫我呀～～～蘇：我們兩人目前是一起陷入泥沼....說互相幫忙會更適合.... 你瞧～～～那裡有棵蔭涼的大樹，旁邊有一塊沙地，沙地上的數學家不會及身而絕的....只但願可別犧牲生命了... 我們就坐在沙地邊乘涼邊討論吧！走！你順便折個樹枝當筆用！ -------------------------------------- 定理 1 自然數不存在最大元素 pf：柏：現在假設自然數存在最大數 M （切記，M 現在是最大自然數，我假設他存在）則，M^2 是自然數蘇：為什麼 M^2 是自然數？柏：因為 M 是自然數，具有乘法封閉性。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 並且 M^2＝ M 蘇：M^2 怎麼會等於 M 呢？你肯定要說服我柏：老師，因為M^2 是自然數，M 現在是最大自然數，所以 M^2 不能大於 M，也不能小於，根據三一律，只能等於！ M^2－M ＝0 M（M－1）＝0 我們得到最大自然數M＝0 或 1 ，因為0不是自然數最大自然數為 1 顯然矛盾 -><- 故假設錯誤，我們證明了最大自然數不存在...使用的是『歸謬法』！ Q.E.D. ----------------------------------------------------- 蘇：很好，愛真理要勝過愛老師.....我們已經有了第一個結論.... 『自然數沒有最大元素』我的心裡有一種聲音在迴盪，每次在獨思冥想時..心靈深處就會發出那悅耳天籟離目標越來越近了.....親愛的柏拉圖，我們要有信心現在可以請你說一說對於以下故事的看法嗎？ "古時候...在『數學國』有一個老兄叫愚公，他天真的想要把太行山用剷子移走這任務的確龐大，村裡的人都笑他不切實際，愚公回答：『子又生孫，孫又生子﹔子又有子，子又有孫。子子孫孫，無窮匱也。而山不加增，何苦而不平？』你認為愚公可能達成這個『不可能的任務』嗎？柏：您又再戲弄我了....討論才剛加溫，現在又跳到愚公移山去了.... 蘇：別生氣，我的朋友.....我是很嚴肅的跟你講這個故事的... 你不看我的面子，也同情一下愚公吧！不覺得他很可憐嗎？聰明的柏拉圖，或許以你的智慧可以幫他想想辦法？柏：好吧！我認為...在『數學國』裡，愚公的確是可以移山的... 不論山多大（M多大），一剷多小（a多小），必定存在一個自然數 n 使得山被愚公挖光（na＞M）蘇：很好！愚公住哪裡？柏：數學國... 蘇：數學國的語言不是這樣的...他們不用希臘文你能幫忙把愚公移山的故事翻譯成數學國的語言嗎？柏：任給兩自然數 a、M，必定存在一個自然數 n 使得 na＞M ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 蘇：我的好朋友，趕快拿起我們『精緻的武器』吧！『棄盤戰術』真不是蓋的.... ---------------------------------------------------- 定理2 任給兩自然數 a、M，必定存在一個自然數 n 使得 na＞M 柏：照慣例囉～～～我現在假設定理2 不成立，也就是對於 n 屬於所有自然數，存在兩自然數 a、M，使得 na≦M 於是 n≦ M/a ，等等.... n 可是屬於任意的自然數耶 n≦ M/a 不就宣稱自然數系存在最大元素嗎？這不就跟我們剛剛證明過的定理1矛盾 -><- 故定理2 成立 Q.E.D. ---------------------------------------------------- 蘇：看在宙斯（Zeus）的份上，我們應該勇往直前... 柏：但願戴菲爾女神可以預言接下來我們該怎麼走.... 搞了半天的自然數性質，我們真的是走在宙斯庇佑的道路上嗎？ _ 還記得咱們的目標是 0.9 是否等於 1 嗎？我們幫愚公移走大山，卻留下自己一堆問題，迷失了方向.... 到目前為止，結論是一無所獲....我得到了什麼？蘇：孩子，我懇求你年輕的心不要太過急躁，並且千萬別總想著報償.... 追求真理的過程...本身就是一種享受，有一件不尋常的事情在荷馬（Homeros）的史詩裡透露給我們.... 《伊利亞特》裡的海倫（Helen），你知道的.... 對每個追求者都懷疑是否真的愛她...或是對她感興趣只是因為王位與財富.... 她要一個丈夫愛她，只是因為她的美麗、機智與嫵媚.... 同樣地....數學只對那些接近她出於純愛，只為了她本身的美顯示她的秘密如果一個人對於每一步都急切的問：『我能從她得到什麼？』..... 那麼這個人必走不遠。孩子，或許夢想就在不遠前方，但願我們能更堅忍卓絕..... 柏：偉大的蘇格拉底，您為經師亦為人師，請原諒我的莽動與無理.... 蘇：人生有的是時間懺悔，現在有更重要的事情擺在眼前... 不過我們或許該先感謝一下希帕索斯.... 他讓我們對『數』的認識大開眼界，我的孩子，大開眼界後的數字王國....成員是哪些呢？柏：你看看這樣寫的正不正確.... 自然數Ｕ零與負整數Ｕ分數不盡根Ｕ超越數 ∣← 有理數 → ∣ ∣← 無理數 →∣ 蘇：就我們所瞭解的是這些了.... 孩子，我但願你不要太奢望從我身上得到什麼答案，這個期待會讓你失望的.... 『我只知道一件事情，那就是我一無所知』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：請容我隨著您的智慧亦步亦趨了.... 首先，我們『實在的數』....或稱實數好了，現在有兩個集團... 有理數集團以及無理數集團，這兩大聯盟抱在一起構成了『實數王國』！（驚！）等等....我好像也有『天籟』了.... 原諒我的衝動！再不寫下來我只怕稍縱即逝.... 剛剛我們所論證的定理2，如果把『任給兩自然數 a、M』，改成『任給兩個正實數 x、Y』定理2 是否為真確呢？蘇：我想...咱們已經共識了自然數沒有最大值，這就已經說明了一切.... 數學家會比較喜歡這麼講吧！『自然數是上方無界的！』 --------------------------------------- 柏：改良版本定理2*，也就是... 『任給兩個正實數 x、Y，必定存在一個自然數 n 使得 nx＞Y』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 若是定理2* 非真！那麼依然會造成『最大自然數存在』的荒謬結論....所以定理2*為真 --------------------------------------- 蘇：你的成長真的超乎我的想像.... 所謂...弟子不必不如師，師不必賢於弟子... 老頭子蘇格拉底汗顏，直能說後生可畏... 對了...我還記得你之前所提到的....PTT島上的愛智少年 child， _ 你說他證明了0.9≠1，並且不是用虛無飄渺的『極限術語』可以再說一點詳情嗎？柏：是這樣的....那孩子使用數學歸納法， _ _ 也就是自然數的基本性質證明了 0.9＜1，再根據三一律直接推論0.9≠1 真是聰明的孩子.... 只不過他的家教老師 yonex 宣稱..已在他的論證過程中找到錯誤，但還沒發表... 蘇：嗯....就算yonex找到child證明過程的瑕疵....也並不代表問題被解決了.... 只能說child的證明錯誤而已.... 如今我們花了一個下午的時間，也得到一點收穫... 要不要回頭看看原來的題目，我們已今非昔比.... 即便沒有收集到足夠的工具，勇氣也該醞釀夠了.... 柏：老師，請讓我試著看看.... --------------------------------------------- _ 定理3 0.9＝1 pf：柏：根據三一律， a＜b ； a＞b ； a＝b 三者必居其一 _ 0.9 顯然不可能大於 1 現在這個定理....變成了『二選一』的問題.... _ 若我能得到 1＜0.9 非真，結論就出來了.... 把精緻武器利用的淋漓盡致，就是貫徹始終地來個『數學歸謬法』 _ 假設 0.9＜1為真， ^^^^^^^^^^^^^^^ _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根據定理2* ，必定.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 蘇：等等，我的朋友....可以這樣子隨便取x、Y嗎？柏：老師，我只要隨便找一個例子，而能讓結果荒謬，證明就完成了... 何況定理2* 告訴我們，x、Y 只要是大於零的正實數，是可以任意的... 這裡並沒有違反定理2* 的條件呀！弱水三千，我只取一瓢而飲.....請容我繼續下去.... _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根據定理2*， _ 1 必定存在正整數 n，使得（10^n）x＞ 1 ， x＝1－0.9＞ --------- （10^n） 1 _ _ 1－ -------- ＞ 0.9 所以 0.9999.......9 ＞ 0.9 (10^n） ∣← n個9 →∣ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 這是個荒謬的結論矛盾 >-< 故假設 0.9＜1 為非真 _ 0.9＝1 Ｑ.Ｅ.Ｄ. ----------------------------------------------- 老師，我終於完成了..... 您無私而誠摯的循循善誘，我只有感動的說不出話來... 蘇：孩子，智慧的靈光早就已經潛藏在你回憶的深處...我只是把他喚醒而已... 蘇格拉底是個『接生婆』，但絕不是個『填鴨者』，我只知道我一無所知呀～～～..... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：值此理性綻放光芒的一刻，我壓抑心中的喜悅，不禁悲從中來... 老師....雅典在馬拉松之役戰勝，全城欣喜若狂... 而羅伯奔尼撒之役的慘敗，則恐怕會掀起一陣腥風血雨，我多麼擔心你的處境，已經有謠言對你不利，當權者似乎想找一個代罪羔羊... 蘇：孩子，我親愛的柏拉圖....他們若殺了我，就很難找到像我這樣子的人了... 容我用粗鄙的口吻來說：我是神賜給這城市的牛蚋.... 牛因肥大而懶惰、遲鈍，需要牛蚋的叮咬刺激，神把我賜與雅典，讓我隨時催促他們前進，喚醒他們，苦勸、苛責他們而雅典人卻向一個從沈睡中忽然被喚醒的人那樣，大感憤怒、惱火.... 恨不得立刻置我於死地......從此他們的餘生就可以在渾渾噩噩中度過.... 柏：你已經吞下不少苦藥... 蘇：..... 柏：恐怕藥太苦了.... 蘇：親愛的柏拉圖，我會畏懼什麼呢？我吃給你看，我還有一杯毒酒呢！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 11:48)

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