Re: [請益] 國中數學

看板CS_TEACHER (補教老師)作者chemmachine (chemmachine)時間13年前 (2012/04/01 14:18)推噓0(0推 0噓 2→)

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※ 引述《Rabin5566 (羅賓56)》之銘言： : 各位老師大家好， : 遇到一個國中部的學生，學校老師出給他們想的題目 : 卡很大，請大家幫忙0.0 : 座標平面上，圓心在原點，半徑為n的圓 : 其圓周上的點，座標(x,y)滿足x,y都是有理數的點有無限多個，試說明原因 : 我的想法是，往 : 2 2 2 : x +y =n ，考慮(x,y)會有無限多個有理數解去想 : 發現，當n=拍(圓週率，打不出來請見諒)的時候 : 因為拍平方也是無理數 : 找不到x,y都是有理數，能滿足平方和為無理數 : 可判斷題目有問題，至少要對n有限制才有可能。 : 但問題來了，如果限制n為有理數好了， : 那該如何證明可找到無限多組有理數解呢.... : 卡關卡很大，請各位老師不吝指教，感激不禁~ 末學提供一個方法：將 2 2 2 x +y =n 作變數變換 x/n=x'，y/n=y' 2 2 x' +y' =1 由其diophantin無限有理數解對( (m^2-n^2)/(m^2+n^2)，(2mn)/(m^2+n^2)) (m，n不同時為0) 其中m、n可代任何整數如固定 m=1， n跑遍所有整數。可額外證明此有無限多解。故2 2 2 x' +y' =1 有無限多有理解故 2 2 2 x +y =n 有無限多有理解例：n=5 作變數變換 x/5=x'，y/5=y' choose m=1，n=3有解(-8/10，6/10) (x，y)=(-8/10*5，6/10*5)=(-4，3) 當m、n跑遍所有Z時，x、y會跑出無限多Q解。叹悲歌未切为憾奈何怕岁月过只随信念活等后世来评说你是风沙的怒吼你是断崖的坚守你是剑锋过后仰望月夜眉间的寂寞你是滴水的沉着你是落花的幽柔你是万世称颂却为日落默默哀叹的血肉英雄寞 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.33.5.124