Re: [請益] 一題數學題(邏輯)

看板CS_TEACHER (補教老師)作者mardrea (和忠)時間4年前 (2021/09/11 19:56)推噓2(2推 0噓 0→)

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※ 引述《lemonblue (懼美女症)》之銘言： : 昨天姪子問我一題，說是國中資優班的題目，要寫詳細推導過程。 : 想很久想不出來，上來請教。 : ------------------ 讓我們先假設甲跟乙都是絕頂聰明的人才具備瞬間列出所有對應資料及急速運算分析的能力同時擁有鬥心機的爾虞我詐心思 : 1到~100間取兩數Ａ、Ｂ（不包含1及100）這邊先假設2~99只能選擇兩個不同的(可以選相同的就另外再分析囉) : 甲知道兩數互乘之值、乙知道兩數相加之值，然後有以下對談順序： : (1)甲：我不知道這兩數是多少這句表示甲手上的積拆成兩個數除了1跟自己之外還有別的複數種組合這邊你的想法是對的也就是積不會是兩個質數相乘 : (2)乙：我知道甲不知道是多少此時乙馬上想到甲手上的積一定不是兩個質數的相乘所以甲他才這樣說的而乙拿的是兩數之和也就是最小2+3=5 最大98+99=197 在這些數之中只要是能拆成兩個質數相加的都不會是乙手上的數畢竟手上的和拆開只要有一組是兩個質數相加難保甲就是拿到那組積那甲不可能說他不知道兩數為何所以我們要列出5~197 開始將所有兩個質數相加的數去除根據哥德巴赫猜想:任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和還有唯一一個為偶數的質數是2 所以所有"質數+2"的數也都要去掉最後剩下11,17,23,27,37,41,47.......197是乙手上的和的可能 : (3)甲：我現在知道是多少了但此時甲聽了乙說的話也同時明白了我們剛剛站在乙的角度的分析也就是乙手上的兩數之和拆開成兩個數的組合裡沒有任何一組是兩個質數相加甲馬上反過來利用這件事舉個例子甲手上的積如果是18 那他立刻就分解成2*9或3*6 然後他算一下2+9=11 11正是乙手上所持有的和的其中一個可能 3+6=9 但9並不是乙手上的和的可能因此兩數之和必是11 搭配他手上的兩數之積18 甲馬上就能推論出兩數為2和9 : (4)乙：那我也知道了這邊是最麻煩的部份了為什麼乙也跟著知道了呢畢竟乙手上的只是兩數之和舉例來說 A.假設乙手上的數是11 他必能拆成2+9或3+8或4+7或5+6 然後推想出甲手上的積是18,24,28,30 如果甲手上的是18 那甲就會拆成2*9或3*6 然後甲剛剛上面的想法乙也就能猜到所以乙會覺得甲手上的積有可能是18 然而如果甲手上的是24 那甲就會拆成2*12或3*8或4*6 2+12=14 14不在乙的可能裡 3+8=11 11在乙的可能裡 4+6=10 10不在乙的可能裡這樣甲也能推論出乙手上的是11而說出我知道了因此乙也有可能認為甲拿的是24 如此一來基於複數種可能性乙就不會說出"那我也知道了" 所以乙手上的和不是11 我們又得回到(2)那邊的結論重來一次 B.假設乙手上的數是17 他必能拆成2+15或3+14或4+13或5+12或6+11或7+10或8+9 然後推想出甲手上的積是30,42,52,60,66,70,72 如果甲手上的是30 那甲就會拆成2*15或3*10或5*6 2+15=17 17在乙的可能裡 3+10=13 13不在乙的可能裡 5+6=11 11在乙的可能裡這樣甲就不能推論出乙手上的是11或17而說出我知道了所以甲拿的不可能是30 如果甲手上的是42 那甲就會拆成2*21或3*14或6*7 2+21=23 23在乙的可能裡 3+14=17 17在乙的可能裡 6+7=13 13不在乙的可能裡這樣甲就不能推論出乙手上的是23或17而說出我知道了所以甲拿的不可能是42 如果甲手上的是52 那甲就會拆成2*26或4*13 2+26=28 28不在乙的可能裡 4+13=17 17在乙的可能裡如此一來甲就能推論出乙手上的是17而說出我知道了所以甲拿的可能是52 如果甲手上的是60.............................. 請自行進行程式運算下去Orz 也就是說要讓乙說出"那我也知道了" 必須符合乙手上的和拆成的兩個數分別相乘的積設為甲手上的積又要讓甲能反推論回唯一一組和同時乙也推論出只有一種和會形成這種後續的可能能確認甲手上唯一的積符合的數就是答案 : 請問這兩數是？ : 我當時只想到第一步時甲應該可以判斷這兩數至少有一個合數， : 因為兩質相乘很容易就知道是哪兩個。 : 接著一忙就暫時沒去想了。 : 然後比起解題，這題若以教學的立場，可以用什麼概念來教呢？ : （用什麼方法來輔助思考） : 聯集交集之類的嗎？這應該是高中才會用到？歡迎大家一起集思廣義 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.235.103.225 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/CS_TEACHER/M.1631361416.A.46F.html