Re: [考題] 請問96年統計學大意第22、38題，謝謝

看板Examination (國家考試)作者yhliu (老怪物)時間12年前 (2014/01/12 13:24)推噓2(2推 0噓 8→)

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※ 引述《goshfju (Cola)》之銘言： : ※ 引述《irisspace (泡麵)》之銘言： : : 不好意思，因為我不是很強，觀念以點弱，所以有一些很簡單的問題不懂， : : 雖然我很怕讓人笑掉大牙，可是考試近在眼前，我決定豁出去了， : : 請各位前輩們不吝指導，謝謝。 : : 2.96年第38題 : : 在檢定時，.......(因為很多數學符號無法標示)，若增加樣本數，選項1:「型Ⅰ錯誤」 : : 機率會下降選項2:「型Ⅱ錯誤」機率會下降 : : 考選部答案為選項2正確 : : 我的想法: : : 樣本數增加，應該「型Ⅰ錯誤」、「型Ⅱ錯誤」機率會同時下降，我有查到書上解釋為: : : 在檢定時「型Ⅰ錯誤」機率(即顯著水準)為一定值，因此在一顯著水準下，增加樣本數只 : : 會使得「型Ⅱ錯誤」機率會下降。我個人是覺得這樣的解釋有點....不是很滿意 : : 麻煩各位前輩了 : 剛剛仔細看了這題 : 整題的考點很奇怪 : 真的就像書跟grampus216板友說的 : 顯著水準固定後 : 犯型一誤差的機率最多就只會是顯著水準 : 所以犯刑一誤差的機率未必會下降 : 但感覺蠻牽強.. 如以常態群體平均數檢定為例, (1) 群體變異數已知, 單點虛無假說 H0:μ=μ0. 不失一般性, 設 μ0=0. 在固定 α 顯著水準下, z 臨界值 z*=z(α/2). 型II誤機率 β(μ*) = P[H0 cannot rejected; μ=μ*] = P[|Xbar| < z* σ/√n] = P[-z*-μ* √n/σ < Z < z*-μ* √n/σ] 其中 Z 是 N(0,1) 變量. 不失一般性, 假設 μ*>0. 增大 n, 則上列計算機率之區間往左移. 結果是右邊失去大量機率而左邊增加的值很小, 因此 β(μ*) 隨 n 之增大而下降. 至於型Ｉ誤機率, 僅 μ=0 一點, 其值 α 不動. (2) 如上設定, 但考慮單邊對立假說 μ>μ0=0. 則型II誤機率 β(μ*) = P[H0 cannot rejected; μ=μ*] = P[Xbar < z* σ/√n] = P[Z < z*-μ* √n/σ] 顯然隨 n 增大而減小.(原來打錯了, 打成 "增大".) 若 H0 不是單點假說, 而是 H0: μ≦μ0. 則型Ｉ誤機率 = P[Xbar > z* σ/√n] = P[Z > z*-μ* √n/σ] 設 μ*<0, 當 n 增大時, z*-μ* √n/σ 也增大, 　　因此型Ｉ誤機率隨著 n 增加而減小. 只是在 μ=μ0 處其值固定為 α. (3) 如 (2), 群體變異數未知, 用 t 檢定. 型II誤機率 β(μ*) = P[Xbar < t* S/√n] = P[T < t*-μ* √n/S] 其中 T 是自由度 n-1 的 t 變量. 在 given S=s 的條件下, T～N(0,(σ/s)^2), 所以 β(μ) = E[Φ(t* S/σ - μ√n/σ)] 其中標準常態機率 Φ(t* s/σ - μ√n/σ), 在 μ>μ0=0 情況下, 是 n 的嚴格減函數, 因此對 S 的分布取期望值結果的 β(μ), 也是 N 的嚴格減函數. 另一方面, 型Ｉ誤機率 = P[T > t*-μ √n/S] = 1 - E[Φ(t* S/σ - μ√n/σ)] 在 μ<μ0=0 情況下, 也是 n 的減函數. 但在 μ=0 時固定, 為 α. (4) General case: 如果檢定程序具有某種 "最優化" 的意義, 那麼犯錯的機率總是 n 的減函數(雖然不一定是嚴格減函數). 因此, 在固定顯著水準 α 之下, 型II誤機率必然是隨著 n 增大而降低. 然而,就型Ｉ誤而言, 由於固定顯著水準, 表示參數點 θ 落於 H0 範圍之內時, 只能保證犯此型錯誤機率不超過顯著水準, 並不能保證它是 n 的減函數. 即使在初統教本上的例子, 如前述常態群體平均數檢定, 固定顯著水準情況下的檢定, 就型Ｉ誤之機率而言, 也在某些部分 (雖然只是很小的部分), 或某些情況(的全部) 其值固定而不隨 n 增大而降低. 因此... (a) 就初級統計學教本所論觀點: 型II誤機率必隨著 n 增大而降低; 型Ｉ誤機率則可能固定不變或降低. (b) 就一般性假說檢定理論而言, n 增大則型II誤機率一般會降低, 至少是維持不變(例如 Ha 是 μ≧μ0, 等號放在對立假說). 而型Ｉ誤機率則不能保證, 因為檢定程序通常僅量提高此機率以資降低型II誤機率. 所以, 選項 "2"(型II誤機率會下降) 無庸置疑; 而選項 "1"(型Ｉ誤機率會下降) 則是可議的. -- 嗨! 你好! 你聽過或知道統計? 在學或在用統計? 統計專業版 Statistics 在這裡↓ 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.252.123.168