Re: [問題] 圓、橢圓的積分

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/03/17 02:38)推噓0(0推 0噓 0→)

留言0則, 0人參與討論串1/2 (看更多)

※ 引述《aack (喔)》之銘言： : ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言： : : 莫名其妙看到阿積不出來很難過問問看 : : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？ : 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a : 2π 2π |2π : 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa : 0 0 |0 要用此積分得圓弧長值是可以但是....今天如果要證明圓的週長＝2πr 用這極座標的積分去證明....基本上是倒果為因因為極座標表達『圓弧線元素』是rdθ 這就是由圓的弧長公式所得到的..... 圓的弧長公式＝rθ （measure in radian）極小的圓弧長就是自變量作為小的變化（dθ）所以用積分在極座標下來論證圓弧長公式是倒果為因的要說明的應該是...圓的弧長公式為什麼是rθ？（當θ＝2π時自然就得到了圓的週長＝2πr）首先人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積） P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數）並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動） k可以得到大約是6.283...左右的數字問題是怎麼知道 k 是固定的呢？搞不好有一天因為不同的圓而產生不同的值這是不可能的...因為相似多邊型對應邊長成比例（這可由幾何原本中得到證明）而『所有的圓』都是相似的根據相似性原理圓的『周長比』會等於『半徑比』這就得到了 k 必為定值此值我們現在稱為2π 圓周長既然解決部分弧長的公式也可以根據相似的比例原則得到弧長 s＝rθ （θ is measure in radian）積分中的『圓弧線元素』是rdθ就是根據弧長s＝rθ而得到的用以證明圓周長公式絕對是倒果為因的在這裡提一下此事因為我記得好像很多人用這種方法證明圓周長公式並且以為這樣子做是對的另外利用積分來證明圓面積公式＝πr^2 也同樣是倒果為因.... 講一點題外話平常人們測量角度的表達使用度度量（measure in degree）而不喜歡用徑度量（measure in radian）因為度度量表達起來直觀，簡潔，等量分割圓為360度角，容易使用圖像的聯想以粗估角度大小而徑度量卻不然他大小的表達是無理數的分割（2π的分解）很不直觀自古以來人類就懼怕無理數（即使到現在也是）那麼為什麼數學喜歡徑度量而不喜歡度度量？弧長公式與扇型面積公式的表達較度度量為簡潔（s＝rθ A＝1/2θr^2）這固然是原因但還不夠充分...（度度量也做得到）為什麼徑度量為成為...數學中表達角度的主流？主要原因還是因為以下的這個極限 sinθ lim ------- ＝1 這只有在θ在徑度量才是真確的...... θ->0 θ 而這個極限，卻是在高等數學中相當重要的....（它不是1....那就難過了） -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.203.174 ※ 編輯: yonex 來自: 203.73.203.174 (03/17 03:27)