Re: [解題]一題高三數乙

看板tutor (家教)作者Intercome (今天的我小帥)時間17年前 (2008/07/17 00:04)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《ooo77714 (噹)》之銘言： : 1.年級：高三 : 2.科目：數乙 : 3.章節：高一數與座標 : 4.題目： : (x-x1)*+(x-x2)*+(x-x3)*+...+(x-xn)* : 使上式得最小值的x值? 經過展開後可以整理為 2 2 2 2 n*x - 2(x1+x2+...+xn)*x + (x1 + x2 +...+xn ) x1+x2+...+xn 2 2 2 2 x1+x2+...+xn 2 = n[ x - -------------] + (x1 + x2 +...+xn )-(--------------) n n x1+x2+...+xn 當x= --------------(亦即算術平均數)時，有最小值 n : │x-x1│+│x-x2│+...+│x-xn│ : 使上式得最小值的x值? 設A為此資料中的任一數質，中位數為M => 在A ≧ M 的場合 Σ |Xi-M| - Σ |Xi-A| = Σ( |Xi-M| - |Xi-A| ) 分成三個區間 Σ : [Xi≦ M], [M < Xi < A], [Xi≧ A] = Σ[Xi≦M] ( |Xi-M| - |Xi-A| ) + Σ[Xi≧A] ( |Xi-M| - |Xi-A| ) + Σ[M < Xi < A] ( |Xi-M| - |Xi-A| ) = Σ[Xi≦M] ( -(Xi-M) + (Xi-A) ) + Σ[Xi≧A] ( (Xi-M) - (Xi-A) ) + Σ[M < Xi < A] ( (Xi-M) + (Xi-A) ) = Σ[Xi≦M] ( M-A ) - Σ[Xi≧A] ( M - A ) + Σ[M < Xi < A] ( 2Xi-M-A ) = Σ[Xi≦M] ( M-A ) + Σ[Xi≧M] ( M - A ) + Σ[M < Xi < A] ( 2(Xi-A) ) 因為 N = #{Xi≧M} = #{Xi≦ M} 所以前兩項相消 = 2 Σ[M < Xi < A] ( Xi-A ) ≦ 0 得 Σ |Xi-M| ≦ Σ |Xi-A| 接著在A ≦ M 的場合，令 Xi* = -Xi, M* = -M, A* = -A 很明顯 {Xi*} 的中位數是 M*，根據上面推倒知Σ |Xi*-M*| ≦ Σ |Xi*-A*| 但 |Xi-M| = |Xi*-M*|, |Xi-A| = |Xi*-A*| 所以 Σ |Xi-M| ≦ Σ |Xi-A| 故當x=中位數時，有最小值 # -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.139.148