Re: [解題] 高一數學多項式：一元高次方程式

看板tutor (家教)作者LeonYo (空殼子)時間17年前 (2009/01/15 01:53)推噓2(2推 0噓 5→)

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簡化題目：f(x)為n次有理係數多項式 g(x)為m次有理係數多項式，且m>n>0 (A) f(x)=0有n個解 (○代數基本定理) (B) [f(x)]^2=0有2n個解 (○deg[f(x)]^2=2n代數基本定理) (C) B選項比A選項多n個根，多出的根必為A選項中的共軛根 (╳) [f(x)]^2=0 => f(x)=0 多出來的根全都是原來的根原來的根若為實有理根，多出來的根可視為原來的根的共軛根原來的根若為實無理根，多出來的根並非原來的根的共軛無理根原來的根若為虛根，多出來的根並非原來的根的共軛虛根 (D) f(x)=g(x)有m個解 (○) f(x)-g(x)=0 deg[f(x)-g(x)]=m 所以有m個解代數基本定理 (E) [f(x)]^2=[g(x)]^2有2m個解 (○) [f(x)]^2-[g(x)]^2=0 deg{[f(x)]^2-[g(x)]^2}=2m 所以有2m個解代數基本定理 (F) E選項比D選項多出m個根，多出的m個根必為D選項之根的共軛根 [f(x)]^2-[g(x)]^2=0 => [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]=0 => f(x)-g(x)=0(即D選項的根)或f(x)+g(x)=0 多出來的m個根是f(x)+g(x)=0的根和f(x)-g(x)=0的m個根無必然關係令α為f(x)-g(x)=0的一根，且α、β共軛 f(α)-g(α)=0，但f(α)、g(α)未必為0 即α未必為f(x)=0及g(x)=0之解從而β未必為f(x)=0及g(x)=0之解故f(β)、g(β)未必為0 所以f(β)+g(β)未必為0 故α之共軛虛數或共軛無理數β未必為f(x)+g(x)=0之根即f(x)-g(x)=0與f(x)+g(x)=0兩方程式之根無必然共軛關係代了很多數字進去都對？代了什麼數字？重點是先認知什麼叫共軛，為什麼會發生共軛再認知共軛數間有什麼性質，實有理數的共軛如何實無理數共軛又如何，虛數共軛又如何 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.229.147.95

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