PTT職涯區 / tutor (家教)

[解題] 舊高一數學 極限與pi的問題(已解決)

看板tutor (家教)作者 (Rosh Shuin)時間12年前 (2013/08/02 23:05), 編輯推噓9(9推 0噓 20→)
留言29則, 3人參與, 最新討論串1/1
這是小弟在Tutor版第一次發問 請各路高手多多幫忙了 如果有踩到版龜麻煩大家鞭小力一些 也告訴我哪裡要改進 我不太確定99課綱把極限擺到哪裡去了 但是小弟最近在教高二的物理的時候 有用到微積分 就講解了一下極限的概念 學生提出一個問題如下: 在一個邊長為1的正方形中畫一個直徑1的圓 正方形的週長為4 圓形的周長為pi 接下來將四個角落沒有被圓形包圍的地方切掉面積最大的正方形 再對沒有被圓包圍的地方繼續切掉最大的正方形 如此反覆的做無限次 理論上正方形會變成圓形 問題是在切割的過程中 理論上邊長是不會有損失的 但在最後4=pi 我的拙見: 切割下來的正方形構成這個圓的周長只在與圓的接觸點 所以並不能以正方形的周長下去做極限 不知道我的想法對不對... 如果對於我的想法有疑問 有需要補充的話 麻煩請提出來 我會再寫上來 最後感謝各位的耐心閱讀與指教 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.25.118.132
推
08/02 23:47, , 1F
經過討論後，當你在切割正方形時，面積會接近圓面積，但
08/02 23:47, 1F
→
08/02 23:48, , 2F
你所切割正方形後，會在圓的周圍形成鋸齒狀的圖形
08/02 23:48, 2F
→
08/02 23:49, , 3F
如果把它放大，你會發現圓就相當於是一個鋸齒的斜邊
08/02 23:49, 3F
→
08/02 23:50, , 4F
所以以直角三角形來看，斜邊會小於兩股，鋸齒狀的邊長還
08/02 23:50, 4F
→
08/02 23:51, , 5F
是總和為4，並沒有變小，也就沒有極限的問題。
08/02 23:51, 5F
所以意思是說我可以試著做做看斜邊長 會做出近似於pi的數值 只是第二個正方形開始 邊長要怎樣去做出來?? ※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/02 23:57)
推
08/03 00:22, , 6F
重點在於"無窮"的概念, 你把"有限"的處理方法,
08/03 00:22, 6F
推
08/03 00:22, , 7F
拿來當成"無窮"了, 所以就會出問題...
08/03 00:22, 7F
推
08/03 00:23, , 8F
試試看, 你能不能消化這篇文章(http://goo.gl/g9oi6n)
08/03 00:23, 8F
→
08/03 00:23, , 9F
你所謂的斜邊，就相當於是特定邊數的正多邊形去逼近pi
08/03 00:23, 9F
推
08/03 00:24, , 10F
在還不能消化有關於"螞蟻從台北走到紐約"那段之前
08/03 00:24, 10F
推
08/03 00:24, , 11F
建議別跟學生討論無窮的部份
08/03 00:24, 11F
→
08/03 00:25, , 12F
應該可以逼近pi，但是何不直接用內外正多邊形夾擠逼近pi
08/03 00:25, 12F
→
08/03 00:26, , 13F
基本上，當數遇到無限的時候，認知容易發生衝突跟誤解
08/03 00:26, 13F
vv大大:我想你可能誤解我的意思了 我是想如果有一個用極限和斜邊的方式去證明出接近於pi 這樣是功德圓滿的結束這個命題 所以我會需要一個式子(也就是所有鋸齒狀正方形的斜邊合)來當做極限 hope大大:如果說不搭配三角函數去計算會有一定的難度吧?? 還有我覺得說這樣變化會不會有一點點牽強?? (對於學生的理解上) ※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 00:38)
推
08/03 00:36, , 14F
我想, lily 的意思應是 http://i.imgur.com/t3fRLVh.png
08/03 00:36, 14F
推
08/03 00:37, , 15F
而重點在於"無窮"之後, 是不能以"有限"的方式來解釋的
08/03 00:37, 15F
vv大大的圖沒有錯 問題是就hope大的方式去做 勢必要找第一個、第二個、...、第n個正方形的斜邊長 ※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 00:41)
推
08/03 00:40, , 16F
所以如果我會錯意, 就把我上面這兩行推文移除吧
08/03 00:40, 16F
→
08/03 00:47, , 17F
你會錯意了，當你扣掉第一個正方形時，以1/4的圓來看，
08/03 00:47, 17F
→
08/03 00:48, , 18F
要找的是剩下突起的鋸齒斜邊，這應該不是等腰直角，
08/03 00:48, 18F
→
08/03 00:50, , 19F
你把正方形跟圓接觸的點與1/4圓的端點連起來，你會發現
08/03 00:50, 19F
→
08/03 00:51, , 20F
這個恰好是一個圓內接正八邊形…所以當你繼續扣掉正方形
08/03 00:51, 20F
→
08/03 00:52, , 21F
會變成圓內接正十六邊形…你可以想想這個邊長怎麼求…
08/03 00:52, 21F
→
08/03 00:53, , 22F
所以做到極限，就會是pi，這是一個近似值…
08/03 00:53, 22F
→
08/03 00:56, , 23F
所以要知道的不是扣除的正方形斜邊，那個沒有用…
08/03 00:56, 23F
→
08/03 00:58, , 24F
加總起來要逼近圓周還不知道行不行，鋸齒才是你要的部份
08/03 00:58, 24F
→
08/03 01:05, , 25F
這個在算的只是周圍的極限跟圓正方形一點關系都沒有，要
08/03 01:05, 25F
→
08/03 01:05, , 26F
取極限應該像是h大說的，圓內接正x邊形，當x越大正x邊形
08/03 01:05, 26F
→
08/03 01:05, , 27F
的邊長和會越接近於pi
08/03 01:05, 27F
所以是我會錯意了XDDDDD 我大概了解這要怎樣求了 感謝hope大大和vv以及wayn大大三位的解釋 ※ 編輯: lily36501170 來自: 163.25.118.132 (08/03 01:10)
→
08/03 01:11, , 28F
可是學生的做法是在算周圍的周長或面積的極限，圓跟正方
08/03 01:11, 28F
→
08/03 01:11, , 29F
形並沒有因此而越來越相近，他們還是一個周長是4跟pi
08/03 01:11, 29F
‣ 更多 lily36501170 的文章
文章代碼(AID): #1H-ygudF (tutor)
tutor 近期熱門文章
更多 近期熱門文章 >>
PTT職涯區 即時熱門文章
更多 即時熱門文章 >>
‣ 更多 lily36501170 的文章
文章代碼(AID): #1H-ygudF (tutor)