[請益] Walrasian budget set 的 Convexity 問題
看板Economics (經濟學)作者washburn (Just a game)時間18年前 (2008/01/22 00:16)推噓0(0推 0噓 0→)留言0則, 0人參與討論串1/3 (看更多)
為了搞懂消費者效用函數的一階偏微分與主觀機率的關係，我重讀 Mas-Colell,
Whinston & Green 的 Microeconomic Theory (1995)，結果在第二章談 consumer
choice 的地方發現了這個問題。
假設商品選擇的數目（注意：非個別商品的數量！）有限，僅存在 L 種商品，
可能的商品組合可以寫成：
Commodity vector：x = [x1, ..., xL]' belongs to LR+
（LR+ 即 R^L_+，如果你習慣 TeX 的表示法），
則消費組合可以寫作：
Consumption set：X = LR+ = {x belongs to LR: xl >= 0 for l = 1, ..., L}。
其中，LR+是一個 convex 集合，即當 x belongs to LR+、x' belongs to LR+，
x'' = alpha*x + (1-alpha)*x' belongs to LR+。
然後在 principle of completeness，即上述 L 種商品在市場以公開價格交易，
價格可以表示為：
Price vector：p = [p1, …, pL]' belongs to LR+；
以及 price-taking assumption之下，再假設消費者的財富為 w，所謂 Walrasian
budget set，是指個別消費者的預算限制為：
Walrasian budget set：B {p,w} = {x belongs to LR: p*x <= w}。
而 Walrasian budget set 也是 convex，MWG 是這樣寫的：
... the convexity of B {p,w} depends on the convexity of the consumption
set LR+. With a more general consumption set X, B {p,w} will be convex as
long as X is.
請問，為什麼在 X 為 convex 時，B {p,w} 也是 convex？
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