Re: [請益] 凹性偏好是否一定為邊際效用遞增?

看板Economics (經濟學)作者akai0928 (so what)時間13年前 (2012/11/11 19:20)推噓0(0推 0噓 13→)

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※ 引述《abbaabbacdcd (好餓)》之銘言： : 在準備經濟學考試，讀到無異曲線這邊時有個疑問... : 凹性偏好的代表性函數是 U=aX^2+bY^2 : 以此函數來看的確是X,Y兩財貨皆為MU遞增 : 我讀的教材也是直接寫凹性偏好是在MU遞增的情況下 : 我的疑問是 : 無異曲線為凹向原點，不是只能代表MRS為遞增嗎? 應該無法保證MU為遞增? : 之前讀到一般無異曲線形狀(凸向原點)時，教材上卻有說MRS遞減不表示MU遞減 : 難道這不適用於凹性偏好嗎? 若是有反例的話，可以請舉出一個函數作例子嗎? : 懇請高手賜教!! 也感謝解答 U=aX^2+bY^2 given a>0, b>0 Ux = 2aX > 0 Uy = 2bY > 0 Uxx = 2a > 0 Uyy = 2b > 0 上式表示，兩財貨邊際效用為正，且邊際效用遞增接著，討論此效用函數MRS 遞增或遞減? MRS = MUx/MUy = aX/bY dMRS d aX a 1*Y - X*(dY/dX) ------ = ----(----) = (---) * ----------------- dX dX bY b Y^2 a Y - X*(-aX/bY) = (---)* ----------------- b Y^2 a Y + aX^2/bY =(---)* ---------------- > 0 b Y^2 dMRS/dX > 0, MRS 遞增 --------------------------------------------------------------- MRS 遞增與 MU 遞增無必然的相關證明方式與遞減時相同 let U = U(X,Y) Ui > 0, i = X, Y Uii > 0, i = X, Y Ux[X, Y(X)] MRSxy = --------------- Uy[X, Y(X)] dMRSxy (Uxx + Uxy*dY/dX)*Uy - Ux*(Uyx + Uyy*dY/dX) --------- = ---------------------------------------------- dX Uy^2 [ Uxx + Uxy*(- Ux/Uy)]*Uy - Ux*[ Uxy + Uyy*(-Ux/Uy)] = --------------------------------------------------------- Uy^2 1 Ux Ux = ------ ( Uxx*Uy - Uxy*----*Uy - UxyUx + Uyy*-----*Ux ) Uy^2 Uy Uy 1 = ------ ( Uxx*Uy^2 - Uxy*UxUy - Uxy*Ux*Uy + UyyUx^2 ) Uy^3 1 = ------ ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0 Uy^3 ∵ Uy > 0 ∴ Uy^3 > 0 ----> ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0 -----> UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy MRS 遞增的條件：UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy MU 遞增的條件：Uxx > 0, Uyy > 0 亦即：MU 遞增無法保證 MRS 遞增成立 -- 無心擁有何嘆失去無心真正追尋過的擁有便無須矯情怨失去若是無悔追尋過烙在心頭上又怎能失的去 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.24.81.1