Re: [討論] 雙曲線的需求彈性

看板Economics (經濟學)作者raiderho (冷顏冷雨)時間7年前 (2017/04/30 03:15)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《andy1230268 (Hsing)》之銘言： : 想請教一下關於雙曲線彈性的觀念 : 一般雙曲線的需求彈性=1是精確的值嗎？點彈性，是。 : 雖然從微分中可推導出此結果 : 但是帶數字進去算的時候發現彈性等於1 : 好像無法滿足雙曲線兩軸相乘等於固定數的條件 : ex. 50x60=3000 55x54=2970 弧彈性和點彈性，一般只會近似，而不會完全相同。 : 是因為微分當中有省略掉某些相乘項嗎？簡單答案：是。詳細答案如下。考慮價格和數量的曲線關係為 f(p,q)=0, 比如說 f(p,q)=pq-100 就是雙曲線關係，並以 f_p, f_q, f_pp, f_pq, f_qq... 表示各階偏導數。考慮沿著曲線移動一個小量 (dp,dq), 亦即 f(p+dp,q+dq)=0. 當 (dq,dq) 是無窮小量 (點彈性)，只需要看到一階微分項， Taylor 展開知： f_p*dp+f_q*dq=0, 得 dq/dp=-f_p/f_q, 這是點彈性為 -(p/q)(dq/dp)=(p*f_p)/(q*f_q), 雙曲線情況剛好就是 1; 假如 (dp,dq) 不是無窮小量 (弧彈性)，精確計算下，高階項就會進來了。 Taylor 展開這時是： f_p*dp+f_q*dq+1/2!*(f_pp*(dp)^2+2f_pq*(dp)*(dq)+f_qq*(f_q)^2)+(高階項)=0, 這時 dq/dp 不再是單純的 -f_p/f_q, 一般而言二階項以上都會影響，假如偏移越大 (弧彈性兩點距離越遠)，二階以上的項影響程度一般也越大，就以二階近似來看，假如 dp 是已知，記為 k 好了， dq/dp 記為 x, 則上述關係是可以用二次方程 f_p+f_q*x+k/2*(f_pp+2f_pq*x+f_qq*x^2) = 0 解出的 x 作為 dq/dp 的近似，可以看出 k 越大，二階項影響越大。特別的在 f(p,q)=pq-c 的雙曲線的例子，三階以上的項都消失了，上述不只是近似，而是精確解了，這時有： q+px+kx=0, 解得 x=-q/(p+k), 則弧彈性為 -(p/q)*x=p/(p+k)=p/p', p'是新的價格，價格變大的情況下，弧彈性會小於 1. 例如價格數量關係為 pq=100, p 從 20 升到 25, q 從 5 降到 4, 根據上述弧彈性就是 20/25=4/5, 與定義得出的 20/5*1/5=4/5 一致。 : 還是彈性造成的價格數量變化不能直接這樣算？ : ex.點彈性弧彈性 : 想了很久還是不解麻煩大家了謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.164.139.137 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Economics/M.1493493343.A.97C.html