Re: [解題] 有幾個高中數學數列與級數的觀念

看板tutor (家教)作者yonex (戴奧尼索斯)時間18年前 (2006/10/27 23:21)推噓2(2推 0噓 1→)

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※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : ※ 引述《dreamaster (整理房間~~~~)》之銘言： : : 有幾點真的想不太通： : : 1.設二正數a.b的算術平均為A，幾何平均為G，調和平均為H，則AH=G的平方， : : 且A大於等於G大於等於H(G=√ab)。 : : 什麼是調和平均呢?又為什麼G會大於等於H呢？ : 統計學、數學分析，本質上有很大的成分是估計上下界的精神 : 因此，不等式在統計學與分析學上，可能比等式更具有重要而有效的地位 : a、b必須正數 : 先證A≧G : a＋b (√a－√b)^2 : ------ － √ab＝ ------------- : 2 2 : 再證G≧H（利用A≧G） : 1 2 : √ab＝ --------------≧ ------------------ : 1 1 1 1 : √（--- ---）（---＋ ---） : a b a b : 這是最初等的證明法，本題有比較高級的證明，這裡就不詳述了 : 方法是使用對數函數的凸性質與微積分給定兩正數a,b，定義以下平均數 a^2+b^2 二次冪平均數 QM＝√（---------） 2 算數平均數 AM＝a＋b/2 幾何平均數 GM＝√ab 調和平均數 HM＝2ab/(a+b) 這四個平均數有以下三種性質（都是平均數的一般性質） 1.每個平均數皆大於a、b中的較小數，而小於較大數 2.等式成立充要條件為a＝b 3.平均數和變數具有相同伸縮率，亦即：A=ta B=tb 則A與B的平均數會放大t倍可再定義 2(ab)^2 二次調和冪平均 HQM＝√（---------） a^2+b^2 可證明（自己就可以證明，大概是國中數學的程度，非常簡單） HQM≦HM≦GM≦AM≦QM 現在重點是這五者的幾何意義，若用以下的方法，其實不難看出來.... 我的方法是這樣的... 當我們給定一邊長為a,b的矩形一個邊長為x的正方形（x視情況而定） 1.若兩者有相同邊長 2(a+b)＝4x x＝AM 2.若兩者有相同面積 ab＝x^2 x＝GM 3.若兩者有相同對角線 √（a^2+b^2）＝√2x x＝QM 4.若兩者有相同「面積－邊界長比率」 2ab ab/2(a+b)＝x^2/4x x＝------＝HM a+b 5.若兩者有相同「面積－對角線比率」則x＝HQM 證明不等式並非難事，但是以上五者的幾何意義瞭解後這不等式的意義就會相當明顯（一比較即可得） (a) GM≦AM意指：在邊界長固定的矩形中，以正方形的面積為最大 (b) AM≦QM意指：在邊界長固定的矩形中，以正方形的對角線為最小 (c) HM≦GM意指：在面積固定的矩形中，以邊長為√ab的正方形具有最大的「面積－邊界長比率」 (d)HQM≦HM意指：在「面積－邊界長比率」固定的矩形中以邊長為2ab/(a+b)的正方形具有最大「面積－對角線比率」 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.243.151 ※ 編輯: yonex 來自: 203.73.243.151 (10/27 23:57)