Re: [解題] 國一資優數學
※ 引述《k50403070 (阿關)》之銘言：
: 1.年級：國一
: 2.科目：數學
: 3.章節：第一章
: 4.題目：從七個數-1、-2、-3、1、2、3、4中任意取出兩個數的乘積、取出任意三個數
: 的乘積、....、取出七個數的乘積，試求所有這些數與所有乘積的總和。
: 5.想法：任意兩個數的乘積為(-1-2-3+1+2+3+4)2/2-(-1)^2-(-2)^2-(-3)^3-1^2-2^2-3^2
: -4^2，以此類推任取三個數乘積到七個數乘積，但很明顯的，這不是好方法，希望有人有
: 更好的方法。
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給定任意的n個數 a1、a2、a3、...、an
則滿足該題意的結果為: (1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)-1
套上面的結果
所以為 -1
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我覺得高一就能這樣計算已經算非常厲害了＝＝
這真的是國一資優生題目嗎...
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◆ From: 140.113.141.151
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09/18 02:45, , 5F
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証明的話有點枯燥乏味
不仿從 n 小的數開始去歸納:
n=2: a1 + a2 + a1*a2 = a2(1+a1) + a1
= a2(1+a1) + (1+a1) - 1
= (1+a1)(1+a2) - 1
n=3: a1 + a2 + a3 + a1*a2 + a1*a3 + a2*a3 + a1*a2*a3
= a3*(1 + a1 + a2 + a1*a2) + (a1 + a2 + a1*a2)
= a3*(1+a1)(1+a2) + (1+a1)(1+a2) - 1
= (1+a1)(1+a2)(1+a3) - 1
所以每當多一個數 a_(k+1)
不難觀察出可以分類成 a_(k+1)*[ 1 + f(k) ] + f(k)
這裡的 f(k) 就是題目欲求的總和 (有k個數)
你可以嘗試去配方 n=4 的 case ︿︿
若國一已經有 多項式 與 未知數 的概念
這樣解釋應該還 ok
只是未知數有點多就是了 XD
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也能這樣解題
利用題目給的一個特定數字 : (-1)
假設 a1 = (-1)
若有一個項為 (-1)*a3*a4
那必定也會伴隨有 a3*a4 這個項
使得加總起來時，恰好會消除
會發現只有 (-1) 本身沒辦法跟其它數消掉
因此答案就是 (-1)
這樣是有點投機
嚴格上來說需證明這樣的消除方式是 one to one mapping
且除了 (-1) ，其它項都能找到其消除對應項
才能下此結論
不過對國中生來說 有這個 fu 應該就夠了 XD
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個人認為推文說的有點不明顯
會讓人誤以為由 (x-a1)(x-a2)...(x-an)
利用根與係數去討論
因為係數是隨著次方在 正負跳動
所以需要由 x=1 與 x=-1 聯立求得 奇數次方係數和 以及 偶數次方係數和
然後再加總起來就是答案
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (09/18 13:36)
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