Re: [解題] 國中數學
※ 引述《sereneoasis (綠染)》之銘言：
: 1.年級：國二
: 2.科目：數學
: 3.章節：某無特定範圍考試，不過解題方法應該不超出國二學生應有的相關內容
: 可能屬於平方公式
: （因為我用這個想法解不太出來所以不確定是不是屬於這個部份）
: 4.題目：
: (2007^1024 -1)能被2^n整除，n為整數，試問n最大為多少？
提供一個簡略的想法
2007=2008-1=8k-1
(2007)^2=(8k-1)^2=64k^2-16k+1=16k(4k-1)+1
所以(2007)^2 -1 被2^4整除 但不被2^5整除(因為k與4k-1皆為奇數)
再設2007^2 =16(k1) +1 其中k1為=k(4k-1)為奇數
(2007)^4=256(k1)^2-32(k1)+1=32(k1)(8k1-1)
所以(2007)^4 -1 被2^5整除 但不被2^6整除(因為k1與8k1-1皆為奇數)
以此類推可得(因為國中生還沒學數學歸納法，對象為高中生則可用之)
(2007)^2^n -1會被2^n+3整除 但不被2^n+4整除
原問題的n為10，故(2007^1024 -1)能被2^13整除，但不被2^14整除
: 5.想法：
: 看到式子形式可以視為 a^2 - b^2 的時候
: 第一個想法是一層層的拆解開來
: 一邊降低次方，再個別討論連乘的數字各含2的幾次之因數
: 累計以得到n
: 2007^1024 - 1 = (2007^512 + 1)(2007^512 - 1)
: = (2007^512 + 1)(2007^256 + 1)(2007^256 - 1)
: ..... 以下以此類推
: 不過發現，因為奇數加 1後一定是偶數，所以我也無法簡易的判定出各個括號
: 的數字最大可除以2的幾次方
: 看起來這似乎並不是這題的解題關鍵想法
: 所以上來請教一下
: 該怎麼解這個問題比較適當呢？謝謝 :)
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