Re: [解題] 高一下數列級數sigma
※ 引述《rogifed (Rogi)》之銘言：
: 1.年級：高一下
: 2.科目：數學
: 3.章節：1-2
: 版本、章節數、主題
: 4.題目：1/1+ 1/1+(1+2) + 1/1+(1+2)+(1+2+3) + ... + 1/1+(1+2)+...+(1+2+...+n)
: 不同章節或主題之題目請份篇發表
: 5.想法：用sigma表示
: 可以變成sigma6/n(n+1)(n+2)
: 可以化成3[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]再化簡就是3(1/n-2/(n+1)+1/(n+2)
: 但答案是 3(1/2-1/(n+1)(n+2) 不懂怎麼變成的
:
你的第一個問題應該是要計算
1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)
這裡的每一個小括號都是等差級數，則第k個括號可以表示成k(k+1)/2
n
再把這些括號連加，利用Σ加起來：Σ k(k+1)/2 = 1/6*n(n+1)(n+2)
k=1
而這題是要計算
1 1
1+ ------- + --------------- +...+ (第n項)
1+(1+2) 1+(1+2)+(1+2+3)
則是把剛剛算的結果放到分母，再利用Σ加起來：
n 1
Σ 6*------------- 這裡就要用"分項分式"來化簡了
k=1 k(k+1)(k+2)
1 1 1 1
Σ的一般式 ------------- 可以拆成---* [------- - ----------]
k(k+1)(k+2) 2 k(k+1) (k+1)(k+2)
所以上面的Σ展開為
1 1 1 1 1 1
3*[----- - ----- + ----- - ----- +...+ ------ - ----------]
1*2 2*3 2*3 3*4 n(n+1) (n+1)(n+2)
= 3*[1/2 - 1/(n+1)(n+2)] #
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