Re: [閒聊] 老師！我有問題... part 2

看板tutor (家教)作者yonex (諸法皆空)時間18年前 (2006/03/25 07:27)推噓1(1推 0噓 0→)

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抱歉請原諒我的斷章取義 @@~ ※ 引述《waterworld0 ()》之銘言： : ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言： : 其實我覺得, 0.9 9循環跟數學歸納法, 壓根是不同領域的東西. : 一個領域的東西, 跑到另一邊, 有時候不一定apply的. 數學是有整體的相容性的有機體一個領域的東西跑到另一邊，不能apply的....一定是哪裡出了問題基於理性的態度要把問題講出來講的清清楚楚的... : 因為有時候使用的前提根本就不同嘛! 我剛剛去google : 可是沒有查到數學歸納法很嚴謹的証明, 因此這邊可能暫時找不到證據反駁你, child其實在推倒n＝k+1這一步，並沒有用到第k個骨牌去推他是自己用外力（直覺）把n＝k+1這塊骨牌推倒的... 違反了數學歸納法的原理，這就問題的所在.... : 但是以下就我的了解來說明這兩個問題. : 數學一般而言, 分成continuous and discrete. : 中間有個叫做 concrete(continuous+discrete)的東西. : 我覺得0.9循環這個問題, 應該不是屬於離散數學, 而是屬於連續數學. : 在離散裡面, 數學歸納法無疑的是成立的. 但是在極限的討論上, 不一定是適用的. : 舉個很簡單的例子: 我們不妨考慮以下這兩個數列 : A_n = <1 - 1/n>, B_n = <1 - 2/n> : 無論你帶多少, A_n 很顯然都大於 B_n. 但是當n越來越大呢? : 或者更明確的說當n趨近於無窮大, 這時候A_n跟B_n的大小關係變成如何呢? : 這時候居然會變成兩個相等耶! 啟不怪哉? : 但是, 你用數學歸納法, 無論怎麼證明, 永遠都會得到 A_n > B_n. : 這是天知地知你知我知的事情. 但是當n -> 無窮大結果卻不一樣了. 這是怎麼一回事? limA_n＝limB_n＝1 與 A_n > B_n for all n 屬於自然數這是兩碼子事情：一個是極限一個是不等式 that's all : 從這個簡單的例子來說明就不難看出來了. : 極限可以不用是一個存在的東西, 因為他只是一個概念. 整個數學都是概念都是不存在的只是概念有深淺而已但是...當一個人學問越深，淺的東西也會變深的這是境界問題... : 或者用數學的語言來說, 他是一個bound. : 在數線上面, 一個數列越來越靠近這個bound的時候, 會越來越密, 但是始終不會等於. : 就像這世界上哪來無限多個9. 但是我們卻敢斷言 0.9, 9循環這個數等於1. : 其實我並不認為這是一個"數", 而是一個極限. 這個問題我回答過了在14559篇你可以參考看看... 其實 0.999999....這個數，可以定義為1 但是我們都同意無論是公設或是定義都是越少越好 0.999999....＝1是可以推導的（毫無神秘與不可知地，可參考蘇格拉底一文）那我們就毋須把這個數定義為1 破壞了定義的獨立性應該盡量避免 : 因此我認為剛剛那個數學歸納法應該是不能使用的. : 極限是一種很抽象的東西, 高中剛開始學習的時候, 你會以為你自己懂了, : 但是到了大一, 你又會覺得你自己好像又不懂了, 以後再碰到, : 你又會覺得你自己好像懂了. 很多東西要講數學都會變的很難, : 我覺得極限算是一種相當抽象的概念, 當然只講計算是很容易的. : 就好比 lim ( A_n + B_n ) = lim A_n + lim B_n 這個是個簡單的不得了的結果 : n->無窮大 : 簡單到我高中的時候都覺得數學家寫出那麼白癡的東西幹啥, : 可是到了大二多看了一些數學又發現這個東西的重要性了. : 因此你說0.9, 9循環這個數字等不等於1 其實我建議你不妨考慮這個數列 : A_n = < 1 - (1/10)^n > 把他展開會變成 { 0.9, 0.99, 0.999, ---- } : 當n遞增的時候, 會越來越接近1. 當然如果你硬要說他永遠都比1小當然也是可以的. : 但是無可否認的 : lim A_n 的確是等於1. : n->無窮大 : 或許書上跟我講的不一樣, 但是我還是想要重申, 就我的理解, 0.9 9循環的本身 : 並不是一個"具體的數字". : 認不認同我的看法, 就看你認不認同"< 1 - (1/10)^n >" 跟 "0.9, 9循環" : 是不是兩個等價的命題了. 我當然不認同一個是數列一個是數怎麼可能等價敘述數列是定義域在正整數（或其子集）的函數我想我們應該不會認為『函數』跟『數』是同一個東西吧... 有些智慧是要花點努力才能看見的常常...或者應該說總是.... 任憑肉眼或不成熟的直覺，是看不清楚事物背後隱晦的真相的... 從無到有過程的整個展現，全盤討論...深入思考.... 才不會流於斷章取義.....才不會陷於只見樹而不見林的窘境強聒不捨地...我還是重申一次... 在數學的世界裡，『思考比學習更重要——思考才是真正的學習！』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 只有從高觀點下俯瞰初等數學，那濛霧後面的真相才會益發清明.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 與聰明的waterworld0兄共勉之... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.234.238 ※ 編輯: yonex 來自: 203.73.234.238 (03/25 07:59)

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