Re: 為什麼要把非零的常數多項式次數定為0

看板tutor (家教)作者yonex (戴奧尼索斯)時間17年前 (2008/09/24 17:18)推噓5(5推 0噓 3→)

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※ 引述《chang0629 (小chang)》之銘言： : 那零多項式的次數為什麼不定義為0？而要說它沒有定義呢？ : 有沒有老師可以教我 : 我們老師教這時 : 我有點不懂 : 謝謝定義次數函數deg，這舉例說明比較容易 ex：f(x)＝2x^3＋5 g(x)＝3x^2＋11 deg(f)＝3 deg(g)＝2 所以 deg(f‧g)＝deg(f)＋deg(g)＝5 ex: f(x)＝0 g(x)＝3x^2＋11 顯然 f‧g＝0 目前我們未定義「零多項式」的次數，所以令 deg(f)＝deg(0)＝X deg(f‧g)＝X＝deg(f)＋deg(g)＝X＋3 整理上式得 X＝X＋3 若零多項式的次數為0，則不滿足上式，所以deg(0)≠0 滿足上式的只有一種「數」，叫無窮大（∞）（其實有三種無窮，分別是一個無窮大∞與兩個有號無窮大－∞、＋∞）在這裡我們將兩個有號無窮大丟入原本的實數集，當作是兩個數（分別是上下確界，將實數緊緻化）成為一種擴充實數集，並定義他的代數運算，其中滿足上式 X＝X＋3 OK！那麼接下來的問題是：零多項式究竟次數是＋∞還是－∞呢？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 我們用多項式的加法來檢證 ex： f(x)＝x^2 g(x)＝x^5 f＋g＝x^5＋x^2 deg(f＋g)＝5 顯然，「加法後的次數是取兩多項式次數較大者」（兩多項式次數不同） ex： f(x)＝0 g(x)＝x^3 f＋g＝0＋x^3＝x^3 假設 deg(0)＝＋∞ 依上述取次數較大者的原則 deg(f＋g)＝＋∞ 顯然 deg(f＋g)＝3 而 3≠＋∞ 所以排除deg(0)＝＋∞的可能，剩下deg(0)＝－∞，代入多項式加法來檢證，確實能滿足... 因此，零多項式的次數是－∞ （註一）以上討論雖然很簡單，不過還是有點囉唆，這也是為什麼中學數學不討論「零多項式次數」的原因... 茲節錄〈部編版基礎數學第一冊〉內容如下：「...f(x)＝0，也是一個多項式，叫做零多項式，目前我們不討論它的次數。零次多項式與零多項式統稱為常數多項式。」（註二）零多項式的次數竟然會是負號無窮大（－∞），這結果看起來似乎挺詭異的（會嗎？）只要有受一點點數學訓練的人，應該都能體會，「零」和「無窮大」是一體的兩面（註三）這種東西並不重要...重要的是要會算題目！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.134.22.55