Re: [解題] 高一數學多項式觀念題目
※ 引述《austin1119 (對牛彈琴。北極熊。)》之銘言：
: 第一個問題
: 必需考慮多項式的係數是佈於整數、有理數或是實數
: (題目並沒有說清楚)
高中數學沒有在把這個說清楚的
F[x]我們在高中都是直接當F是R或C之類的field(Q都幾乎沒有了)
而不會只當他是個整環像是Z[x]或Z_4[x]之類的
因為國高中學到這邊連個除法不適用的的例子都沒有(到矩陣才出現第一個)
並不會想到有沒有乘法反元素的問題
簡單說5*[(ｘ^2＋1)/5]=(ｘ^2＋1)
所以5是ｘ^2＋1的因式
但是0乘上任何東西都是0 沒辦法變成ｘ^2＋1
就算真的要跟學生說代數也是討論為什麼0乘上任何東西都是0
[0x+0x=(0+0)x=0x => 0x=0]
而不是討論在學生心中從來不存在的代數結構
不過印象中問問題的原po也教滿久了
建議有時間念一點代數
沒念過代數的人教的高中數學有時候還滿讓人傻眼的
常看到的是在矩陣那邊
AB=I => BA=I
解釋原因說因為B是A的反矩陣= =
其實左反元素等於右反元素這件事並沒有這麼單純
不過只有很少數的學生看到這個解釋會覺得怪怪的
至於矩陣乘法的結合律(AB)C=A(BC)就不一樣了
雖然一般的高中課本是用例子帶過(一般的線代課本則是硬算兩者的元素)
但是在Gilbert Strang的書裡倒是有一個很簡單的"看"法
即使是高中生只要熟悉矩陣的乘法一看就明白了
可惜通常教這裡的時候學生都是高三時間緊迫
大概沒幾個老師會教學生怎麼看
: 在實係數多項式環R[x]裡
: 任何的unit a (即存在乘法反元素a^-1的元素) 都是任意多項式的因式
: (這是因為 a * a^-1f(x) = f(x)，即a|f(x) )
: 又因為R是一個field，其unit即為所有非零常數
: 所以，5是一個unit (其反元素為1/5) ，故5|ｘ^2－1 且 5|ｘ^2＋1
: 即5是其公因式
: 但若是整係數多項式環F[x]裡
: 5並不是unit (1/5並不是F[x]裡的元素，故不存在5的乘法反元素)
: 所以5不為ｘ^2－1，也不為5|ｘ^2＋1的因式
: 當然，不為其公因式
: 第二個問題
: 無論是整係數多項式或實係數多項式
: 0不為ｘ^2－1的因式也不為ｘ^2＋1的因式，故0不為其公因式
: : 推 jonsauwi:那你為什麼覺得甲是乙不是？這就是你的想法啊～ 10/26 18:39
: : 推 superlove305:5可以整除兩者 0不行? 10/26 18:56
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◆ From: 61.224.41.1
※ 編輯: Bourbaki 來自: 61.224.41.1 (10/27 03:00)
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