Re: [解題] 高一數學多項式觀念題目

看板tutor (家教)作者austin1119 (對牛彈琴。北極熊。)時間15年前 (2010/10/27 12:48)推噓4(4推 0噓 0→)

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※ 引述《Bourbaki (大狐狸)》之銘言： : ※ 引述《austin1119 (對牛彈琴。北極熊。)》之銘言： : : 第一個問題 : : 必需考慮多項式的係數是佈於整數、有理數或是實數 : : (題目並沒有說清楚) : 高中數學沒有在把這個說清楚的大感謝原波的補充XD 不過我的原回文是以數學教師的原po為對象來討論的囉!! (因為原po不正是二個數學教師的討論情境‥) 教師教師的心中若能了解這些中學數學問題背後的抽象數學結構從高觀點來看初等數學(Felix Klein的名言XD) 教學上的舉例或找反例時，才能得心應手，也比較有把握，不會心虛喔!! 另外，分享一些小小心得下面高中課本中的二個定理: 整係數(有理係數)多項式一次因式檢驗法(或整係數方程式找根之牛頓定理) 實係數方程式虛根成對等定理其實已經可以和學生討論多項式的係數是整數是實數等，是重要的一件事某些定理是適用於某些係數條件下這也是教師甄試試教時資深老師會特別注意看的點‥ 如果，試教的過程中，沒有特別強調出"整係數(有理係數)"多項式一次因式檢驗法沒有好好地說明清楚定理的敘述與條件而是急著證明定理，急著用於解題，通常後果就是再聯絡了‥‥ 其實，學習數學定理，定理的敘述，定理中的條件與結論很重要，必需抓緊‥ 而不是只是在乎趕快用於解題‥ 同時，我們在"應用"某個定理解題證明時不正是先小心檢查滿足了定理的所有條件(前提)，然後跟據該定理，而得到定理的結論? 另舉一個例子: 家教學生的微積分講義(大學生) 討論到平均值定理，但是該講義定理敘述中的函數f(x) 並沒有說明其是否可微，也完全沒有加上連續這個條件，整個傻眼‥ 結果，果然學生就誤以為所有的函數都會滿足平均值定理面對不是連續的函數，仍嘗試使用平均值定理‥ 此外，就一些數學研究上不正是期望儘可能地以較少的限制條件，去得到較強的結論以得到一個好用的定理先探索、猜測某個定理(或性質)會成立若已證明了這個定理，數學家會試圖減少(減弱)其中條件，看看是否仍有同樣的結論，或是能找到反例若證不出這個猜想，數學家會增加或放寬條件，看看是否能證得結論其實，大學數學常見的"證明或舉反例"式的問題，是很好的數學訓練方式而數學教師們大學時期對於"近世代數"的學習，亦是很好的訓練方式也是學習、了解數學公理結構的一種很好的出發點從群(或半群)的公理和一些定義出發，演繹出整個群的知識結構以至於環與體的結構而我們平常看到好的教科書之中的定理敘述都是數學家千錘百鍊過，並以精準的語言來描述所以，帶學生好好地掌握定理的敘述、其條件與結論是件重要而有意義的數學教學活動喔同時，引領學生解題的過程除了是帶領學生從記憶，到理解，再到應用、分析的認知歷程之外其實，也是為了讓學生透過解題的過程，更清楚地熟悉、了解整個定理的結構與適用時機、場合喔 : F[x]我們在高中都是直接當F是R或C之類的field(Q都幾乎沒有了) : 而不會只當他是個整環像是Z[x]或Z_4[x]之類的 : 因為國高中學到這邊連個除法不適用的的例子都沒有(到矩陣才出現第一個) : 並不會想到有沒有乘法反元素的問題 : 簡單說5*[(ｘ^2＋1)/5]=(ｘ^2＋1) : 所以5是ｘ^2＋1的因式 : 但是0乘上任何東西都是0 沒辦法變成ｘ^2＋1 : 就算真的要跟學生說代數也是討論為什麼0乘上任何東西都是0 當然，實際高中的教學上，面對此問題舉個例子，或反例或反證都是很可行的方式 : [0x+0x=(0+0)x=0x => 0x=0] : 而不是討論在學生心中從來不存在的代數結構 : 不過印象中問問題的原po也教滿久了 : 建議有時間念一點代數 : 沒念過代數的人教的高中數學有時候還滿讓人傻眼的當然，基礎代數之中一些有關於多項式環的習題都是考量係數佈於不同條件下的環，試圖去找反例，或證明一些性質‥ 生有興趣翻翻書，玩一玩，滿有趣的‥‥ : 常看到的是在矩陣那邊 : AB=I => BA=I : 解釋原因說因為B是A的反矩陣= = : 其實左反元素等於右反元素這件事並沒有這麼單純補充一下左反元素等於右反元素是交換環才有的性質喔非交換代數之中很多的性質，都要分左或右來討論與研究‥ : 不過只有很少數的學生看到這個解釋會覺得怪怪的 : 至於矩陣乘法的結合律(AB)C=A(BC)就不一樣了 : 雖然一般的高中課本是用例子帶過(一般的線代課本則是硬算兩者的元素) : 但是在Gilbert Strang的書裡倒是有一個很簡單的"看"法 : 即使是高中生只要熟悉矩陣的乘法一看就明白了 : 可惜通常教這裡的時候學生都是高三時間緊迫 : 大概沒幾個老師會教學生怎麼看 : : 在實係數多項式環R[x]裡 : : 任何的unit a (即存在乘法反元素a^-1的元素) 都是任意多項式的因式 : : (這是因為 a * a^-1f(x) = f(x)，即a|f(x) ) : : 又因為R是一個field，其unit即為所有非零常數 : : 所以，5是一個unit (其反元素為1/5) ，故5|ｘ^2－1 且 5|ｘ^2＋1 : : 即5是其公因式 : : 但若是整係數多項式環F[x]裡 : : 5並不是unit (1/5並不是F[x]裡的元素，故不存在5的乘法反元素) : : 所以5不為ｘ^2－1，也不為5|ｘ^2＋1的因式 : : 當然，不為其公因式 : : 第二個問題 : : 無論是整係數多項式或實係數多項式 : : 0不為ｘ^2－1的因式也不為ｘ^2＋1的因式，故0不為其公因式 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.122.174.196