Re: [請益] 高中數學
看板CS_TEACHER (補教老師)作者kch0520 (prince0520)時間13年前 (2012/04/18 05:18)推噓4(4推 0噓 8→)留言12則, 3人參與討論串4/6 (看更多)
※ 引述《navicrops (......)》之銘言：
: 空間中一點 (1,2,3)
: 一平面過此點且和三軸所圍成的四面體體積最小
: 求此平面為何 ?
: 答案為 6x+3y+2z = 18
: 我的方式會利用到算幾不等式
: 設此平面為 ax+by+cz = (a+2b+3c)
: 過三軸的交點分別為 ((a+2b+3c)/a,0,0)...
: 再利用算幾有最小值時 a=2b=3c 下去求解
: 不知道有沒有其他想法
: 謝謝 ^^
假定在第一掛線交於(a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)a、b、c均為正數
四面體體積最小為abc/6
平面截距式為(x/a)+(y/b)+(z/c)=1
帶入平面上的點 (1,2,3)得到(1/a)+(2/b)+(3/c)=1.....(#)
要找abc/6最小值 同等找6/abc最大值
利用算幾不等式(1/3)[(1/a)+(2/b)+(3/c)]>=(6/abc)^1/3
當等號成立時 1/a=2/b=3/c
假設a=k b=2k c=3k帶入(#) 得到k=3
因此平面截距式為(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
速解方式為:
利用通過的點為重心的觀念
因為(x'/a)=(y'/b)=(z'/c)=1/3
因此假設平面截距式為(x/3x')+(y/3y')+(z/3z')=1
已知x'=1 y'=2 z'=3帶入
得到(x/3)+(y/6)+(z/9)=1
等同6x+3y+2z = 18
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.218.37.120
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