Re: 高中數學的教學時數

看板tutor (家教)作者Bluetease (阿武隈四入道！)時間18年前 (2006/09/04 12:42)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《freehunter (freehunter)》之銘言： : 十分贊同您的說法，可是假使今天是教餘弦定理， : 我怎麼套用您的方法？？ : 就像推文所說，其實我本身是能習慣，定義＝>定理=>證明=>習題 : 這種學習方式的，只要這些東西之間的連接性夠有邏輯性，就是不會習題不對定理 : 可是我承認，這種方法用在教學，除了花時間外，效果似乎也不太好。 : 之前去上課，解某一題，要用到餘弦定理， : 我把定理寫給學生看，問她有沒有看過？ : 她說沒有，（可是她已經高二） : 她問我為什麼會對？ : 我說，光這樣看可能很陌生，先看看直角三角形的情況， : 然後我就不會教了XD，我找不出其他的例子或方法去說服她，這個定理是對的 : 因為我覺得要我當場寫證明，我也不會，及使有證明，也不會瞭解比較多， : 後來她說要全部重新教， : 一個禮拜兩堂課，一次高一，一次高二，每次兩小時 : 我高一的從三角開始教，又要遇到相同的問題了CC : 不過按照blue大大的講法，向量教起來的確是輕鬆愉快呀首先你提到你可以習慣定義＝>定理=>證明=>習題這樣的走法，我覺得這可商榷，每個學生的學習情況不同，有的學生的確能夠從證明過程中感受到背後隱藏的意義跟數理邏輯，進而感受到數學之美。不過對多數學生來講，或者是您例子中的學生來講，我想他們肯定就感受不到這回事了。所以抓出定義背後的數理邏輯是很重要的。以三角函數來講好了。三角學源自希臘羅馬，經過數學史上大師們的修正，到了牛頓時代漸臻完備。高中數學的三角函數終至de Moivre's Theorem，接下來可以銜接複數。如果把數學上的各個觀念以時代來排，三角函數來自希羅時代，相當於論語孟子的時代。微積分來自十七世紀，可以比喻做明朝的各種章回小說。線性規劃在美軍二戰規劃轟炸機路線時發揚光大，以時代來排跟魯迅差不多。高中三角函數生硬不近人情是很正常的，這些理論不但不是近現代的發現，更經過歷來數學家們的修飾鑽研。就好像一本四書集註，來自古老的春秋時代，又被歷代學者添補注釋。但是對高中生來講，仍然有三個學好三角的理由：一、For Geometry，這是第二章的重點，這一點之後再說。二、For Physics，力學裡面使用的語言包含了太多三角函數，不能不學。三、For Algebra，這就是de Moivre's theorem，也就是第三章的重點。撇開第三章不看，因為你專門提到余弦定理，這是第二章，這個定理背後也有意義跟精神嗎？有的。正弦定理是一個從圓畫出來的定理，跟余弦無關。跟余弦有關的，是三角函數基本定義的三角六邊型。教完三角六邊型的定義以後，就可以進入投影公式。投影公式湊一湊，就可以推出余弦定理。可是從投影公式湊余弦定理的過程，完全看不出邏輯之所在，彷彿是天外飛來一筆的相消。沒關係，我們先把余弦定理的兩個型態寫出來：邊平等於夾平加夾平減二夾夾cos夾 cos夾等於二夾夾分之夾平加夾平減邊平例如：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc 這個公式有什麼用呢？讓我們回到國中幾何。三角形的全等性質有SSS，SAS，AAS， ASA，RHS；而SSA則提供了兩組不一樣的解，如果該A是鈍角，則全等，若是銳角，則可能全等可能是另一組不全等的解。無論如何，三角形的全等性質有個特色：三角形的三邊三角共六個值當中，只要取得其中三個〈當然要至少有一個是S，AAA只能做出相似〉，就可以確定三角形的形狀。既然可以確定其形狀，另外的三個值就是定值。這在四邊型等形狀當中是沒有的，四邊型即使確定了SSSS，也無法確定角度。既然知三可以確定另外三個，那麼另外三個就變成「可求」了。如果是國中，我們會把圖畫出來，就可以解得其他三個條件。可是到了高中就不用那麼麻煩.... 對，就是我們剛剛玩的余弦定理。發現了嗎？SSS，SAS，SSA，都可以利用余弦定理來解出其他三個條件。AAS，ASA，則可以利用正弦定理來解出其他三個條件。為什麼我們要把投影公式的左邊各自乘上a,b,c，並且整理出余弦定理呢？因為這是一個「只用到三角形中四個條件」的恆等式〈未整理前的投影公式整整用了六個條件〉！靠余弦定理，就可以湊出三角形的全貌───即使你只有三個條件，也可以完整的列出六個條件！〈角度的地方有時要藉查表輔助〉這一段的公式的確不像數的那一章，公式背後直接充滿了豐富的數學意像，但是反過來想，沒有豐富數學意像的東西還能進課本，當然是因為它具有強大的實用性。從她實用的地方，下去連結學生學過的東西，你就不難解釋為什麼我們要教授這個觀念了。事實上，第二章的所有公式綜合起來用〈還包括海龍，平行四邊型等等定理〉，可以把一個三角形從三邊長、三角度、直到外接圓半徑，內切圓半徑，面積、中線長，分角線長通通都算出來。簡而言之，第二章的三角函數是一個「用三角函數完整算出國中幾何所教的所有資訊」的工具集。〈其實這在課本當中也被列為獨立的一節，稱做「解三角形」〉〈正因為可以解出三角形所有資訊，測量的意義才會那麼大〉其實大多數的公式背後絕對都找得到「數學的騷味」，只是有的濃有的淡罷了。把這樣的東西找出來，絕對是倍添教與學的樂趣的，更可以讓學生的數學感覺更加敏銳。而數學的騷味在哪裡，其實隨著每個人的經驗不同，體悟也會不同。如果教數學的時候多點用心，我相信你也可以找到你專用的教學方式。 -- ?? \("▔□▔)/ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.228.172.182