Re: [解題] 高中數學 根與係數
※ 引述《lyndonxxx (lyndon)》之銘言：
: 1.年級：高三複習
: 2.科目：數學
: 3.章節：根與係數
: 4.題目：a、b、c是方程式 X^3-3X^2+4X+1=0 的三根，
: 則(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)之值？
a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=(3-c)^2-(-1/c)=c^2-6c+9+1/c=(c^3-6c^2+9c+1)/c
因為 c^3-3c^2+4c+1=0
所以可將c^3-6c^2+9c+1化簡為c^3-6c^2+9c+1-(c^3-3c^2+4c+1)=-3c^2+5c
因此a^2+ab+b^2=(c^3-6c^2+9c+1)/c=5-3c
同理 (b^2+bc+c^2)=5-3a (c^2+ca+a^2)=5-3b
原式=(5-3c)(5-3a)(5-3b)=125-75(a+b+c)+45(ab+bc+ca)-27abc=125-225+180+27=107
: 5.想法：由根與係數關係，得 a+b+c=3
: ab+bc+ac=4
: abc=-1
: 將(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)化為
: [(a+b)^2-ab][(b+c)^2-bc][(c+a)^2-ca]
: 展成 (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2-ab(b+c)^2(c+a)^2-bc(a+b)^2(c+a)^2
: -ca(a+b)^2(b+c)^2+a^2bc(b+c)^2+ab^2c(a+c)^2+abc^2(a+b)^2
: -a^2b^2c^2
: 頭尾都算出來了，但中間那幾項不知道要怎麼處理~"~
: 還是有更好的解法?
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