Re: [解題] 高一多項式
※ 引述《dogptt ( )》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：多項式
: 4.題目：將 X^16 - 1 在實係數多項式中分解因式，
: 一共可以分解為______個實係數的質因式之連乘積。
題目並沒有錯，因為所謂 d(x) 是實係數多項式 f(x) 的
實係數質因式的意思是
d(x) 整除 f(x), 而且 d(x) 不能分解成兩個次數皆低於 d(x)
次數的兩個實係數多項式的乘積
: 5.想法：標準答案是9
: 我的看法與答案有出入，想法如下，
: X^16 - 1
: =(X^8+1)(X^4+1)(X^2+1)(X+1)(X-1)
如版友提到的，x^8 + 1 和 x^4 + 1 都可以再分解成兩個較低次數的實係數
多項式之乘積，所以你給的分解並非"質"因式分解
我給出一個解法，
如果可以偷用棣美富定理，可以知道 x^16 -1 = 0 的十六個複數根是
e^(ikπ/8)， k = 0,1,2,..., 15. 除了 k = 0, 8 之外，其餘十四個
根可以兩兩配對，例如： k = 1 配 k = 15, k = 2 配 k = 14 (以此類推，
總之配成總和是 16 就是了)。利用 0 = x^16 -1
= (x - 1)乘上(x - e^(ikπ/8))的乘積
可以拆成九個實係數多項式的連乘積.
: 一共是 五 個因式連乘積
: 後來顧慮到有兩種可能
: 其一題目所指的?個質因式，意味著?"種"質因式連乘積，例如:
: X^16 - 1
: =(X^8+1)(X^8-1)=(X^12+X^8+X^4+1)(X^4-1)=......
: 如果假設成立，預計數目會超過九
: 其二類似解法曾出現在國中數學，所以應該不會是高三複習題庫的範圍，
: 很有可能是答案錯誤。
: 煩請板上各位高手幫我看看這種題目該如何下手，謝謝。
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02/10 18:10, , 1F
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