Re: [解題] 高二數學，直線與圓
PS在此提供的是幾何上直覺的觀點
嚴謹的證明可直接硬爆出PQ或由其他方法得出
令所求點 A (s,t)
假設圓的方程式為 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
令PQ線上任何一點N(c,d)
則觀察 (c-a,d-b) 和 (s-a,t-b) 這兩個向量
你會發現這兩個向量內積一定是r^2
( 在此借助原文中diego99大大推文的圖
因為 ON˙OA = OM˙OA = OP˙OA = OP˙OP = r^2 )
所以(c-a)(s-a) + (d-b)(t-b) = r^2
因此PQ的方程式為(x-a)(s-a) + (y-b)(t-b) = r^2
也就是俗稱帶一半公式
(把圓的方程式一半代原本的x,y 另一半代圓外的點
...好啦其實圓內的點也可只是含義不同XD )
然後把它和題目給的PQ方程式的係數(會成比例)比較後即可求出(s,t)
也有可能題目所給的圓方程式沒有配方
假設是a*x^2+b*y^2+ex+fy+g=0
這樣帶一半公式會變成a*x*s+b*y*t+e(x+s)/2+f(y+t)/2+g=0
這我就看不出來它的幾何意義了(可能是我太弱)
只能說是它代數化簡後的巧妙吧
印象中PQ好像叫做A對這個圓的極線吧
不要說它冷門嘛我高中用它用得很爽耶XDDDD
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