Re: [解題] 高二下數學 敘述統計觀念
※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言:
: ※ 引述《choucj (心塵)》之銘言:
: : 抱歉這邊我切斷一下,
: : 因為您底下的敘述,又是利用更多問題來解釋一個問題的方式。
: : 當然您有提出一個故事
: 你好,我想你誤會我的原意了...
: 因為我預設回覆的問題是:為何樣本變異數不選擇 n,而選擇 n-1
: 對於一個資質普通的高中生,
: 我的陳述說明了:
: 樣本變異量仍然除以n,所估計到的母體變異數就會「低估」了
: 就估計母體而言,樣本變異量的分母放 n-1,會緩和低估現象...
: 就二選一的前提來說,我的工作已經結束....
: 我承認一個程度較佳的學生可能還會進一步的問:
: 換成n-1來估計母體,難道就不會高估嗎?
: n-0.5 n-0.3 .....其餘的可能性不該繼續考慮嗎?
: 是的,這確實是有繼續努力下去的必要...
: 但我並不打算繼續回答下去...
: 因為這討論牽扯到不偏估計理論,對一個中學生無疑是不勝負荷的...
原文已閱畢,感謝您精闢的回應。
但對於我切斷的部分,實在是「正常」的一位中學生都會產生的疑問。
即便知道許多對於他們現階段會有的難度問題,
但以「低估」的這種敷衍的回應方式,
實在是一種更規避且不負責任的作法。
我不知道從哪一本書裡,開始產生這樣的解釋,
但我相信在初始狀況,
這樣的用法應該只是闡明使用 n 將會造成的問題,
爾後,卻被引用為使用 n-1 會比較好?!
明白的說,與其不清不楚的用了一個有理論基礎的 n-1,
我倒寧可中學生就乾脆用 n ,就用 n。
理由很簡單,
1.中學生不會教到不偏。
2.變異數在中學的階段的目的是為了比較,在同樣的標準之下,
其實這兩者是沒有差別的。
3.在早期用 n 的時代裡面,我們曾經會因此在用 n-1 替換時,產生困擾嗎?
我相信不僅沒有,反而正重視這突來的改變。
4.您既然打從一開始就不打算告訴他原因了,
何必讓學生瞭解了一堆摸不著邊際的原因,浪費了依堆學習時間在上面?
卻換不到一個有理論依據的答案??
: 用 n-1 除是為了滿足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立...
: 在統計上一個好的估計量常被要求滿足不偏性
: 樣本變異數究竟是否為母體變異數的不偏估計
: 這還牽扯到各樣本是否獨立的問題
: 經由簡單隨機抽樣,若所選取之樣本可以再放回
: 此時母體變異數定義為以 N 為分母,
: 那麼樣本變異數以n-1來除才滿足不偏性
: 若是有限母體取後不放回(事實上這更普遍),
: 即使樣本變異數以n-1來除仍是有偏的
: 這時反而是母體該採取 N-1....(國外教材中以這個觀點更為常見)
................................這句話有待商榷,母體採取 N-1 ?
: 至於「標準差」估計母體,以不偏性考量,
: 則無論是以 n-1、n 來除,標準差的估計都有「誤差」...
: 換言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人為」的...
: 既然是「人為」的,當然就可以講出一番道理,但這道理卻不絕對,
這裡實在難以認同,
1.樣本統計量當然有誤差,但不代表用 n, n-1因此都沒差。
2.道理不絕對也是道理,就是依據。
: 這也是統計學和數學在學習心理上的差異(統計學不是數學)
: (或許我們說:隨機性數學與確定性數學之差異會更好)
: 即使對於初學統計的大學生來說,這一整串的論證仍然容易造成混淆
: 何況是對於沒接觸過推論統計的中學生而言呢?
這點我認同,
所以使用 n-1實在是挖個洞讓別人跳的行為。
更何況放眼高中數學教師,有多少比例知道不偏?
普遍知道的解釋就是「因為用 n 會低估所以用 n-1....」
: 這也是我提起費曼的故事以為殷鑑的原因...
: 我同意一個老師要儘量站在高觀點的立場來指導數學
: 但是當此立場與學習者之認知有所衝突時,
: 便應該以學生的可接受性為主要考量。
: 僅僅解釋為何 n-1 會比 n 來的適當,對中學生我想是夠了....
: 在這裡提供一個自由度觀點解釋的理路
: 對象是中學生,當然不偏性估計的討論只好捨棄.....
: .............
: 樣本點對於平均數的離差定義為 Di=Xi-M
: 但是 n 個離差 D1,...,Dn , 並不代表n個獨立自由變數
: 因為受一個先天的限制式所約束:ΣDi=Σ(Xi-M) = 0
: 所以只有 n-1 個是自由的
: 換言之...當我們知道了五個離差中的四個,第五個離差值便自動決定
: 這就是最初淺的「自由度」解釋,大概也是一般高中生比較能接受的....
: n 個離差,具有n-1個自由度
: 這代表離差佈於R^n空間中的n-1度子空間
: 而其平方和 ΣDi^2 (樣本變異"量") 也具有 n-1個自由度
: 這在向量空間中代表著 n 度空間中,一點至原點距離的平方
: 因而樣本變異"數"也是具有 n-1 個自由度
: 一個自由度提供一份變異量,
: n-1 個自由度提供 n-1 份變異量。
: 所以總變異量是 n-1 份變異量的和,
: 除以 n-1 就是平均每一自由度的貢獻。
: 這就是之所以除以自由度,而不是除以離差數的原因...
: 嫻熟線性代數的學生,更可以用較抽象的高觀點去體會...
: R^n 中的一個向量 X=(X1,...,Xn)
: 投影到 S=(1,1,...,1)的分量就是樣本平均數。
: 樣本變異數即是垂直投影向量,也就是殘差向量的長度平方
: 顯然....S的自由度為1,X的自由度為n,(空間概念中可能你會喜歡叫它維度,這無妨..)
: 因而樣本變異數的自由度為n-1
: ................
: 試圖以「包裝後的數學語言」讓一個中學生得以體會
: 你的出發點是值得嘉許的
: 但切莫注意不可曲學以詮釋...
: 即使是良善的立意也不代表什麼事情都能妥協
: 像是該用數學期望值時,就不應該刻意省略,
: 寫下 "Σ(Xi-M)^2= n-1個母體變異數" 是不被允許的
這部分實在是不得已的誤謬,
只能說要找到適當的詞彙來敘述這樣的感覺不容易。
: 發明一些不存在的統計陳述更要避免...
: 這對學生的誤導比幫助還要更大....
: 你可以再仔細檢視一下自己的論述,訛誤處挺多的...
: 我就不一一舉證了...
這話輕輕帶過,但挺重的,您可以每段有誤的地方簡單用「...」
正如同我對您的文章論述,
您可以自己看看你自己的論述,引用了自由度、離差、向量,
卻始終在邊邊繞,
我們就單針對一點,
「為何平均每一個自由度的貢獻就能達到不偏?」
: 不過你的立意是良好的,我讚美你嘗試的努力...
: 規避不偏性而又能具備完備的解釋,就我而言也是做不到.....
: 但我卻也不想走一條以偏蓋全的路啦...
: 把努力放在未來,對學生還是比較好的....
何為偏?何為全?
數學要教給學生,抓的是他的精神跟價值,
今天我們即使用自由度去作詮釋,
但自由度的代表性本身就存在一個疑問,
我們用一個疑問去解釋另一個疑問,
我想最大的效益就是讓授課的教師當下免除自己的責任,
至少他當下說的有憑有據,學生聽不懂或不理解的以後就懂了...
然而,這樣的方式應是最後的手段啦~
只是放在統計這邊,讓人覺得似乎還太早。
中學教師教學,
學生聽的懂是教師的責任,學生學到會是他自己的責任。
如果我們連第一個責任都要規避,
那似乎不是一個應有的敬業態度。
我寧可教科書上寫的解釋是,
「使用 n-1係屬大學統計不偏估計部分,高中階段不做詳述。」
也不願意它給個,
「因為用 n低估,所以用 n-1」的答案....
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