Re: [解題] 高二下數學敘述統計觀念

看板tutor (家教)作者choucj (心塵)時間18年前 (2007/06/20 10:36)推噓1(1推 0噓 1→)

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※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : ※ 引述《choucj (心塵)》之銘言： : : 抱歉這邊我切斷一下， : : 因為您底下的敘述，又是利用更多問題來解釋一個問題的方式。 : : 當然您有提出一個故事 : 你好,我想你誤會我的原意了... : 因為我預設回覆的問題是：為何樣本變異數不選擇 n，而選擇 n-1 : 對於一個資質普通的高中生， : 我的陳述說明了： : 樣本變異量仍然除以n，所估計到的母體變異數就會「低估」了 : 就估計母體而言，樣本變異量的分母放 n－1，會緩和低估現象... : 就二選一的前提來說,我的工作已經結束.... : 我承認一個程度較佳的學生可能還會進一步的問： : 換成n－1來估計母體，難道就不會高估嗎？ : n－0.5 n－0.3 .....其餘的可能性不該繼續考慮嗎? : 是的，這確實是有繼續努力下去的必要... : 但我並不打算繼續回答下去... : 因為這討論牽扯到不偏估計理論，對一個中學生無疑是不勝負荷的... 原文已閱畢，感謝您精闢的回應。但對於我切斷的部分，實在是「正常」的一位中學生都會產生的疑問。即便知道許多對於他們現階段會有的難度問題，但以「低估」的這種敷衍的回應方式，實在是一種更規避且不負責任的作法。我不知道從哪一本書裡，開始產生這樣的解釋，但我相信在初始狀況，這樣的用法應該只是闡明使用 n 將會造成的問題，爾後，卻被引用為使用 n-1 會比較好？！明白的說，與其不清不楚的用了一個有理論基礎的 n-1，我倒寧可中學生就乾脆用 n ，就用 n。理由很簡單， 1.中學生不會教到不偏。 2.變異數在中學的階段的目的是為了比較，在同樣的標準之下，其實這兩者是沒有差別的。 3.在早期用 n 的時代裡面，我們曾經會因此在用 n-1 替換時，產生困擾嗎？我相信不僅沒有，反而正重視這突來的改變。 4.您既然打從一開始就不打算告訴他原因了，何必讓學生瞭解了一堆摸不著邊際的原因，浪費了依堆學習時間在上面？卻換不到一個有理論依據的答案？？ : 用 n-1 除是為了滿足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... : 在統計上一個好的估計量常被要求滿足不偏性 : 樣本變異數究竟是否為母體變異數的不偏估計 : 這還牽扯到各樣本是否獨立的問題 : 經由簡單隨機抽樣，若所選取之樣本可以再放回 : 此時母體變異數定義為以 N 為分母， : 那麼樣本變異數以n－1來除才滿足不偏性 : 若是有限母體取後不放回（事實上這更普遍）, : 即使樣本變異數以n－1來除仍是有偏的 : 這時反而是母體該採取 N-1....（國外教材中以這個觀點更為常見） ................................這句話有待商榷，母體採取 N-1 ？ : 至於「標準差」估計母體，以不偏性考量, : 則無論是以 n-1、n 來除，標準差的估計都有「誤差」... : 換言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人為」的... : 既然是「人為」的，當然就可以講出一番道理，但這道理卻不絕對，這裡實在難以認同， 1.樣本統計量當然有誤差，但不代表用 n, n-1因此都沒差。 2.道理不絕對也是道理，就是依據。 : 這也是統計學和數學在學習心理上的差異（統計學不是數學） : (或許我們說:隨機性數學與確定性數學之差異會更好) : 即使對於初學統計的大學生來說，這一整串的論證仍然容易造成混淆 : 何況是對於沒接觸過推論統計的中學生而言呢？這點我認同，所以使用 n-1實在是挖個洞讓別人跳的行為。更何況放眼高中數學教師，有多少比例知道不偏？普遍知道的解釋就是「因為用 n 會低估所以用 n-1....」 : 這也是我提起費曼的故事以為殷鑑的原因... : 我同意一個老師要儘量站在高觀點的立場來指導數學 : 但是當此立場與學習者之認知有所衝突時， : 便應該以學生的可接受性為主要考量。 : 僅僅解釋為何 n－1 會比 n 來的適當，對中學生我想是夠了.... : 在這裡提供一個自由度觀點解釋的理路 : 對象是中學生,當然不偏性估計的討論只好捨棄..... : ............. : 樣本點對於平均數的離差定義為 Di＝Xi-M : 但是 n 個離差 D1,...,Dn , 並不代表n個獨立自由變數 : 因為受一個先天的限制式所約束:ΣDi＝Σ(Xi-M) = 0 : 所以只有 n－1 個是自由的 : 換言之...當我們知道了五個離差中的四個,第五個離差值便自動決定 : 這就是最初淺的「自由度」解釋，大概也是一般高中生比較能接受的.... : n 個離差，具有n-1個自由度 : 這代表離差佈於R^n空間中的n-1度子空間 : 而其平方和 ΣDi^2 (樣本變異"量") 也具有 n-1個自由度 : 這在向量空間中代表著 n 度空間中，一點至原點距離的平方 : 因而樣本變異"數"也是具有 n-1 個自由度 : 一個自由度提供一份變異量， : n-1 個自由度提供 n-1 份變異量。 : 所以總變異量是 n-1 份變異量的和, : 除以 n-1 就是平均每一自由度的貢獻。 : 這就是之所以除以自由度，而不是除以離差數的原因... : 嫻熟線性代數的學生，更可以用較抽象的高觀點去體會... : R^n 中的一個向量 X＝(X1,...,Xn) : 投影到 S＝(1,1,...,1)的分量就是樣本平均數。 : 樣本變異數即是垂直投影向量,也就是殘差向量的長度平方 : 顯然....S的自由度為1,X的自由度為n,(空間概念中可能你會喜歡叫它維度,這無妨..) : 因而樣本變異數的自由度為n-1 : ................ : 試圖以「包裝後的數學語言」讓一個中學生得以體會 : 你的出發點是值得嘉許的 : 但切莫注意不可曲學以詮釋... : 即使是良善的立意也不代表什麼事情都能妥協 : 像是該用數學期望值時，就不應該刻意省略， : 寫下 "Σ(Xi－M)^2= n-1個母體變異數" 是不被允許的這部分實在是不得已的誤謬，只能說要找到適當的詞彙來敘述這樣的感覺不容易。 : 發明一些不存在的統計陳述更要避免... : 這對學生的誤導比幫助還要更大.... : 你可以再仔細檢視一下自己的論述,訛誤處挺多的... : 我就不一一舉證了... 這話輕輕帶過，但挺重的，您可以每段有誤的地方簡單用「...」正如同我對您的文章論述，您可以自己看看你自己的論述，引用了自由度、離差、向量，卻始終在邊邊繞，我們就單針對一點，「為何平均每一個自由度的貢獻就能達到不偏？」 : 不過你的立意是良好的，我讚美你嘗試的努力... : 規避不偏性而又能具備完備的解釋,就我而言也是做不到..... : 但我卻也不想走一條以偏蓋全的路啦... : 把努力放在未來,對學生還是比較好的.... 何為偏？何為全？數學要教給學生，抓的是他的精神跟價值，今天我們即使用自由度去作詮釋，但自由度的代表性本身就存在一個疑問，我們用一個疑問去解釋另一個疑問，我想最大的效益就是讓授課的教師當下免除自己的責任，至少他當下說的有憑有據，學生聽不懂或不理解的以後就懂了... 然而，這樣的方式應是最後的手段啦～只是放在統計這邊，讓人覺得似乎還太早。中學教師教學，學生聽的懂是教師的責任，學生學到會是他自己的責任。如果我們連第一個責任都要規避，那似乎不是一個應有的敬業態度。我寧可教科書上寫的解釋是，「使用 n-1係屬大學統計不偏估計部分，高中階段不做詳述。」也不願意它給個，「因為用 n低估，所以用 n-1」的答案.... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.21.252.200

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