Re: [解題] 高二下數學 敘述統計觀念

看板tutor (家教)作者 (心塵)時間18年前 (2007/06/20 10:36), 編輯推噓1(101)
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※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言: : ※ 引述《choucj (心塵)》之銘言: : : 抱歉這邊我切斷一下, : : 因為您底下的敘述,又是利用更多問題來解釋一個問題的方式。 : : 當然您有提出一個故事 : 你好,我想你誤會我的原意了... : 因為我預設回覆的問題是:為何樣本變異數不選擇 n,而選擇 n-1 : 對於一個資質普通的高中生, : 我的陳述說明了: : 樣本變異量仍然除以n,所估計到的母體變異數就會「低估」了 : 就估計母體而言,樣本變異量的分母放 n-1,會緩和低估現象... : 就二選一的前提來說,我的工作已經結束.... : 我承認一個程度較佳的學生可能還會進一步的問: : 換成n-1來估計母體,難道就不會高估嗎? : n-0.5 n-0.3 .....其餘的可能性不該繼續考慮嗎? : 是的,這確實是有繼續努力下去的必要... : 但我並不打算繼續回答下去... : 因為這討論牽扯到不偏估計理論,對一個中學生無疑是不勝負荷的... 原文已閱畢,感謝您精闢的回應。 但對於我切斷的部分,實在是「正常」的一位中學生都會產生的疑問。 即便知道許多對於他們現階段會有的難度問題, 但以「低估」的這種敷衍的回應方式, 實在是一種更規避且不負責任的作法。 我不知道從哪一本書裡,開始產生這樣的解釋, 但我相信在初始狀況, 這樣的用法應該只是闡明使用 n 將會造成的問題, 爾後,卻被引用為使用 n-1 會比較好?! 明白的說,與其不清不楚的用了一個有理論基礎的 n-1, 我倒寧可中學生就乾脆用 n ,就用 n。 理由很簡單, 1.中學生不會教到不偏。 2.變異數在中學的階段的目的是為了比較,在同樣的標準之下, 其實這兩者是沒有差別的。 3.在早期用 n 的時代裡面,我們曾經會因此在用 n-1 替換時,產生困擾嗎? 我相信不僅沒有,反而正重視這突來的改變。 4.您既然打從一開始就不打算告訴他原因了, 何必讓學生瞭解了一堆摸不著邊際的原因,浪費了依堆學習時間在上面? 卻換不到一個有理論依據的答案?? : 用 n-1 除是為了滿足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... : 在統計上一個好的估計量常被要求滿足不偏性 : 樣本變異數究竟是否為母體變異數的不偏估計 : 這還牽扯到各樣本是否獨立的問題 : 經由簡單隨機抽樣,若所選取之樣本可以再放回 : 此時母體變異數定義為以 N 為分母, : 那麼樣本變異數以n-1來除才滿足不偏性 : 若是有限母體取後不放回(事實上這更普遍), : 即使樣本變異數以n-1來除仍是有偏的 : 這時反而是母體該採取 N-1....(國外教材中以這個觀點更為常見) ................................這句話有待商榷,母體採取 N-1 ? : 至於「標準差」估計母體,以不偏性考量, : 則無論是以 n-1、n 來除,標準差的估計都有「誤差」... : 換言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人為」的... : 既然是「人為」的,當然就可以講出一番道理,但這道理卻不絕對, 這裡實在難以認同, 1.樣本統計量當然有誤差,但不代表用 n, n-1因此都沒差。 2.道理不絕對也是道理,就是依據。 : 這也是統計學和數學在學習心理上的差異(統計學不是數學) : (或許我們說:隨機性數學與確定性數學之差異會更好) : 即使對於初學統計的大學生來說,這一整串的論證仍然容易造成混淆 : 何況是對於沒接觸過推論統計的中學生而言呢? 這點我認同, 所以使用 n-1實在是挖個洞讓別人跳的行為。 更何況放眼高中數學教師,有多少比例知道不偏? 普遍知道的解釋就是「因為用 n 會低估所以用 n-1....」 : 這也是我提起費曼的故事以為殷鑑的原因... : 我同意一個老師要儘量站在高觀點的立場來指導數學 : 但是當此立場與學習者之認知有所衝突時, : 便應該以學生的可接受性為主要考量。 : 僅僅解釋為何 n-1 會比 n 來的適當,對中學生我想是夠了.... : 在這裡提供一個自由度觀點解釋的理路 : 對象是中學生,當然不偏性估計的討論只好捨棄..... : ............. : 樣本點對於平均數的離差定義為 Di=Xi-M : 但是 n 個離差 D1,...,Dn , 並不代表n個獨立自由變數 : 因為受一個先天的限制式所約束:ΣDi=Σ(Xi-M) = 0 : 所以只有 n-1 個是自由的 : 換言之...當我們知道了五個離差中的四個,第五個離差值便自動決定 : 這就是最初淺的「自由度」解釋,大概也是一般高中生比較能接受的.... : n 個離差,具有n-1個自由度 : 這代表離差佈於R^n空間中的n-1度子空間 : 而其平方和 ΣDi^2 (樣本變異"量") 也具有 n-1個自由度 : 這在向量空間中代表著 n 度空間中,一點至原點距離的平方 : 因而樣本變異"數"也是具有 n-1 個自由度 : 一個自由度提供一份變異量, : n-1 個自由度提供 n-1 份變異量。 : 所以總變異量是 n-1 份變異量的和, : 除以 n-1 就是平均每一自由度的貢獻。 : 這就是之所以除以自由度,而不是除以離差數的原因... : 嫻熟線性代數的學生,更可以用較抽象的高觀點去體會... : R^n 中的一個向量 X=(X1,...,Xn) : 投影到 S=(1,1,...,1)的分量就是樣本平均數。 : 樣本變異數即是垂直投影向量,也就是殘差向量的長度平方 : 顯然....S的自由度為1,X的自由度為n,(空間概念中可能你會喜歡叫它維度,這無妨..) : 因而樣本變異數的自由度為n-1 : ................ : 試圖以「包裝後的數學語言」讓一個中學生得以體會 : 你的出發點是值得嘉許的 : 但切莫注意不可曲學以詮釋... : 即使是良善的立意也不代表什麼事情都能妥協 : 像是該用數學期望值時,就不應該刻意省略, : 寫下 "Σ(Xi-M)^2= n-1個母體變異數" 是不被允許的 這部分實在是不得已的誤謬, 只能說要找到適當的詞彙來敘述這樣的感覺不容易。 : 發明一些不存在的統計陳述更要避免... : 這對學生的誤導比幫助還要更大.... : 你可以再仔細檢視一下自己的論述,訛誤處挺多的... : 我就不一一舉證了... 這話輕輕帶過,但挺重的,您可以每段有誤的地方簡單用「...」 正如同我對您的文章論述, 您可以自己看看你自己的論述,引用了自由度、離差、向量, 卻始終在邊邊繞, 我們就單針對一點, 「為何平均每一個自由度的貢獻就能達到不偏?」 : 不過你的立意是良好的,我讚美你嘗試的努力... : 規避不偏性而又能具備完備的解釋,就我而言也是做不到..... : 但我卻也不想走一條以偏蓋全的路啦... : 把努力放在未來,對學生還是比較好的.... 何為偏?何為全? 數學要教給學生,抓的是他的精神跟價值, 今天我們即使用自由度去作詮釋, 但自由度的代表性本身就存在一個疑問, 我們用一個疑問去解釋另一個疑問, 我想最大的效益就是讓授課的教師當下免除自己的責任, 至少他當下說的有憑有據,學生聽不懂或不理解的以後就懂了... 然而,這樣的方式應是最後的手段啦~ 只是放在統計這邊,讓人覺得似乎還太早。 中學教師教學, 學生聽的懂是教師的責任,學生學到會是他自己的責任。 如果我們連第一個責任都要規避, 那似乎不是一個應有的敬業態度。 我寧可教科書上寫的解釋是, 「使用 n-1係屬大學統計不偏估計部分,高中階段不做詳述。」 也不願意它給個, 「因為用 n低估,所以用 n-1」的答案.... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.21.252.200

06/20 10:38, , 1F
個人覺得本文最後兩個說法可以是學生程度告知
06/20 10:38, 1F

06/20 10:40, , 2F
但是重點是考試要會得分,不要想太多,也不要都不思考
06/20 10:40, 2F
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