Re: [解題] 高二下數學敘述統計觀念

看板tutor (家教)作者yonex (戴奧尼索斯)時間18年前 (2007/06/19 00:58)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《choucj (心塵)》之銘言： : ※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : : 4.重點開始：為何計算樣本變異數要用 n-1 除？ : : 假設：母體平均數μ 樣本平均數 M : : 計算母體變異數時用 N 來除,無論就邏輯或直覺而言，都是非常顯然的 : : 但是我們現在要做的是：以樣本變異數來估計母體變異數 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 在處理樣本時，計算「觀測值與"平均數"間離差的平方加總」的當下， : : 那個"平均數"究竟是母體平均數還是樣本平均數呢？ : : 當然以母體平均數是最好，不過如"2."所述，我們擁有的只是樣本平均數 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 母體的變異量：Σ(Xi－μ)^2 : : 樣本的變異量：Σ(Xi－M)^2 : : Σ(Xi－μ)^2＝Σ(Xi－M＋M－μ)^2＝Σ(Xi－M)^2＋n(M－μ)^2 : : ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ : 抱歉這邊我切斷一下， : 因為您底下的敘述，又是利用更多問題來解釋一個問題的方式。 : 當然您有提出一個故事你好,我想你誤會我的原意了... 因為我預設回覆的問題是：為何樣本變異數不選擇 n，而選擇 n-1 對於一個資質普通的高中生，我的陳述說明了：樣本變異量仍然除以n，所估計到的母體變異數就會「低估」了就估計母體而言，樣本變異量的分母放 n－1，會緩和低估現象... 就二選一的前提來說,我的工作已經結束.... 我承認一個程度較佳的學生可能還會進一步的問：換成n－1來估計母體，難道就不會高估嗎？ n－0.5 n－0.3 .....其餘的可能性不該繼續考慮嗎? 是的，這確實是有繼續努力下去的必要... 但我並不打算繼續回答下去... 因為這討論牽扯到不偏估計理論，對一個中學生無疑是不勝負荷的... 用 n-1 除是為了滿足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... 在統計上一個好的估計量常被要求滿足不偏性樣本變異數究竟是否為母體變異數的不偏估計這還牽扯到各樣本是否獨立的問題經由簡單隨機抽樣，若所選取之樣本可以再放回此時母體變異數定義為以 N 為分母，那麼樣本變異數以n－1來除才滿足不偏性若是有限母體取後不放回（事實上這更普遍）, 即使樣本變異數以n－1來除仍是有偏的這時反而是母體該採取 N-1....（國外教材中以這個觀點更為常見）至於「標準差」估計母體，以不偏性考量, 則無論是以 n-1、n 來除，標準差的估計都有「誤差」... 換言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人為」的... 既然是「人為」的，當然就可以講出一番道理，但這道理卻不絕對，這也是統計學和數學在學習心理上的差異（統計學不是數學） (或許我們說:隨機性數學與確定性數學之差異會更好) 即使對於初學統計的大學生來說，這一整串的論證仍然容易造成混淆何況是對於沒接觸過推論統計的中學生而言呢？這也是我提起費曼的故事以為殷鑑的原因... 我同意一個老師要儘量站在高觀點的立場來指導數學但是當此立場與學習者之認知有所衝突時，便應該以學生的可接受性為主要考量。僅僅解釋為何 n－1 會比 n 來的適當，對中學生我想是夠了.... 在這裡提供一個自由度觀點解釋的理路對象是中學生,當然不偏性估計的討論只好捨棄..... ............. 樣本點對於平均數的離差定義為 Di＝Xi-M 但是 n 個離差 D1,...,Dn , 並不代表n個獨立自由變數因為受一個先天的限制式所約束:ΣDi＝Σ(Xi-M) = 0 所以只有 n－1 個是自由的換言之...當我們知道了五個離差中的四個,第五個離差值便自動決定這就是最初淺的「自由度」解釋，大概也是一般高中生比較能接受的.... n 個離差，具有n-1個自由度這代表離差佈於R^n空間中的n-1度子空間而其平方和 ΣDi^2 (樣本變異"量") 也具有 n-1個自由度這在向量空間中代表著 n 度空間中，一點至原點距離的平方因而樣本變異"數"也是具有 n-1 個自由度一個自由度提供一份變異量， n-1 個自由度提供 n-1 份變異量。所以總變異量是 n-1 份變異量的和, 除以 n-1 就是平均每一自由度的貢獻。這就是之所以除以自由度，而不是除以離差數的原因... 嫻熟線性代數的學生，更可以用較抽象的高觀點去體會... R^n 中的一個向量 X＝(X1,...,Xn) 投影到 S＝(1,1,...,1)的分量就是樣本平均數。樣本變異數即是垂直投影向量,也就是殘差向量的長度平方顯然....S的自由度為1,X的自由度為n,(空間概念中可能你會喜歡叫它維度,這無妨..) 因而樣本變異數的自由度為n-1 ................ 試圖以「包裝後的數學語言」讓一個中學生得以體會你的出發點是值得嘉許的但切莫注意不可曲學以詮釋... 即使是良善的立意也不代表什麼事情都能妥協像是該用數學期望值時，就不應該刻意省略，寫下 "Σ(Xi－M)^2= n-1個母體變異數" 是不被允許的發明一些不存在的統計陳述更要避免... 這對學生的誤導比幫助還要更大.... 你可以再仔細檢視一下自己的論述,訛誤處挺多的... 我就不一一舉證了... 不過你的立意是良好的，我讚美你嘗試的努力... 規避不偏性而又能具備完備的解釋,就我而言也是做不到..... 但我卻也不想走一條以偏蓋全的路啦... 把努力放在未來,對學生還是比較好的.... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.56.182.48

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