Re: [解題] 高二下數學敘述統計觀念

看板tutor (家教)作者yonex (戴奧尼索斯)時間18年前 (2007/06/16 14:22)推噓5(5推 0噓 5→)

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※ 引述《Simon (我是素食寶寶N ﰠ )》之銘言： : 1.年級：高二 : 2.科目：數學 : 3.章節：敘述統計 : 請問為何母體變異數(標準差) 與樣本變異數(標準差)的公式中 : 前者分母取 N 後者則取 N-1 : 為何會有這樣的差別,有何理論根據嗎? : 另外,考試時如果要考母體的變異數(標準差) 是否一定會指明? 考試的話，通常會說明這是樣本或母體... 否則，可依照現行課本所陳述，一律視為討論「樣本」變異數（標準差） 1.如果說，「平均數」提供了觀測資料「中心點」的位置那麼，「離差」就是表達資料分散的狀況（離差越小，資料同質性越高）在各種離差統計量中，以「標準差」最為常用... 2.母體的統計量常常是不容易得到的（例如：調查全國老百姓體重，困難度可想而知了）所以抽樣調查，用樣本統計量推論母體統計量如果說母體的全部資料總是可以（輕鬆）取得，那還學什麼統計呢？在這裡先謹記：我們往往擁有的，只是樣本的資料數據當然，樣本數越大越好，至於要多大，在這裡就不節外生枝了.... 3.將：「觀測值與平均數間離差的平方加總後，再取平均」我們稱之為「變異數」，可是因為變異數將資料的測量單位取了平方所以為了讓單位一致起見，取其開平方值，定義為「標準差」無論是標準差或變異數，都是衡量觀測值和平均值之間差異的統計量 --------------------- 4.重點開始：為何計算樣本變異數要用 n-1 除？假設：母體平均數μ 樣本平均數 M 計算母體變異數時用 N 來除,無論就邏輯或直覺而言，都是非常顯然的但是我們現在要做的是：以樣本變異數來估計母體變異數 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 在處理樣本時，計算「觀測值與"平均數"間離差的平方加總」的當下，那個"平均數"究竟是母體平均數還是樣本平均數呢？當然以母體平均數是最好，不過如"2."所述，我們擁有的只是樣本平均數 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 母體的變異量：Σ(Xi－μ)^2 樣本的變異量：Σ(Xi－M)^2 Σ(Xi－μ)^2＝Σ(Xi－M＋M－μ)^2＝Σ(Xi－M)^2＋n(M－μ)^2 ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ 由式子我們可看出：樣本變異量低估了母體變異量如果說樣本變異量仍然除以n，所估計到的母體變異數就會「低估」了就估計母體而言，樣本變異量的分母放 n－1 ，會緩和低估現象... 不用 n 而以 n－1 來除的合理性就在於此... 事實上，本問題在初等統計中...通常是以「不偏性」等觀念來說明... 「自由度」的解釋，則是需要線性代數的觀念這樣的學習路線，對於一個高中生來說是無以負荷的.... 即使對初學統計者而言，也不適當至於為什麼？這又是另一齣漫長的故事，不打算繼續囉唆了.... : 雖然公式就是公式但還是想瞭解一下比較學理方面講解 : 像我教學生時也會試著去解釋公式的來源與意義 : 例如母體的平均數 μ 與樣本平均數的不同意義 : 所以想了解一下上述的問題有一次加州理工學院的物理學家請教費曼：何以自旋（spin）1/2的粒子必須遵守費米-狄拉克統計？費曼說：「先給我一些時間，我準備用大一普通物理的觀念程度試著回答你」過沒幾天費曼告訴那位教授：「很抱歉，我已經試過了，但是一直無法把它簡化到大一程度。也就是說，我們其實還不瞭解真正了解這個現象...」同樣的，挑戰者號太空梭失事的真相調查，忙壞了全世界的科學家.... 其實那也不過是一杯冰水與橡皮筋的故事... 任何正常程度的中小學生都能掌握..... 還有後話，不過先就此打住了.... 我只是相信：當一個人能夠用深入淺出的方式表達，通常意味著對問題的脈絡有著更通透的瞭解... 否則，我會懷疑他對於那些觀念，真有他以為的那麼充分掌握？！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.105.9.48

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