Re: [請益] 機率問題裡的"生日悖論"是什麼情形？？

看板ask-why (知識奧秘)作者gwendless (望月‧老蔣)時間11年前 (2014/07/31 11:18)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《souldragon (太極螺旋)》之銘言： : 一個團體人數如果超過23人那其中兩人生日同天的機率＞50% : 前提假設：每天的誕生人口比例相同(現實裡是不均) : 即使如此如果超一般的推理一年365天機率要超過1/2 : 至少要是183人的團體才對那23這個數字怎麼來的？ : 我從談機率的書作者提到這個東西但沒有多做解釋 : 維基連結但寫得太複雜了看不懂 : http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%94%9F%E6%97%A5%E6%82%96%E8%AE%BA : 有沒有高手能講解一下.. thanks 如果將題目稍為修改一下，你的作法會是正確的。請見以下: 假如我先找出183個生日完全不同的人，並親眼確認他們的證件把這個183人團體簡稱為"183 club" 然後，路上再隨便抓一個我沒有事先安排的路人請問這個路人的生日和"183 club"當中的任一人相同的機率是多少? Ans : 183/365 ，超過1/2。問題(2): 如果先找n個生日完全不同的人，並親眼確認他們的證件把這個n人團體簡稱為"A" 然後，路上再隨便抓一個我沒有事先安排的路人請問，若要讓「這個路人的生日和"A"當中的任一人相同的機率」超過50% 那麼n至少為多少? Sol: 解不等式 n/365 > 1/2 ，得n=183 Ans: 183 好的，看到這裡，你覺得我們的問題和生日悖論的問題有何不同呢? 先思考一下底下防雷 - - 我提出的問題「已經先取了n個不同生日的人在你面前」，其實跟原題義不符原題目單純是隨機的去取n個路人而已。我們先從排列組合來想：如果不先確認生日，而是直接亂找183個路人，那麼他們的生日組合到底有幾種? ... 這種分量要算組合數，數字非常大，先從簡單的case模擬吧(死如果找來n個路人，叫他們每人心中在1,2,3,4,5,6,7,8 當中選一個數在心中記著先扣除心理因素造成的數字偏好。則當n為多少時，n人當中現重複號碼的機率大於一半? 當n=2，總選法有8^2=64種當中重複者有8種 :{1,1}{2,2}{3,3}{4,4}{5,5}{6,6}{7,7}{8,8} 所以重複的機率是8/64 = 1/8 我們也可以用"反面"思考方式假設第一個選數字的人已經選好，則無論他選了哪一個數字，第二個人如果要跟他"不同"，只有在剩下的七個數當中有機會。所以選到"不同"的機率是7/8，那麼選到"相同"的機率就自然是1-(7/8)=1/8 一開始可能覺得反面思考不是那麼直觀，但後面用處就大了。當n=3，總選法有8^3=512種當中重複者有{1,1,1}{2,2,1}{3,3,3}{4,4,4}{5,5,5}{6,6,6}{7,7,7}{8,8,8} {1,1,2}{1,2,1}{2,1,1} {1,1,3}{1,3,1}{3,1,1} ... 誰在跟你窮舉啊(砸) 好啦，所以"反面思考"一下，如果三人都不重複那有幾種方式呢? 很簡單，第一人有8種選法，第二人若要不重複只剩8-1=7種，第三人則是8-2=6種不重複機率為 1 ×(1-1/8) ×(1-2/8) = 21/32 重複機率為 1-21/32=11/32≒34% 同理，n=4時不重複機率為 1 ×(1-1/8) ×(1-2/8) ×(1-3/8) ≒41% 重複機率 => 1-41%=59% 好的，觀察到一個有趣的現象取n=4時，恰好是總人數一半，但是出現重複數字的機率已經高出50%不少是否已經違反了直觀機率呢? 那麼，如果將每個人可選的數字從8個擴展到更大的時候，會不會在比總數一半更早的時候就會出現重複機率>50%的現象呢? 同樣算法套用到生日上 n個人生不重複的機率就是 1*(1-1/365)*(1-2/365)*...*[1-(n-1)/365] 可以自己按按計算機或Excel拉個表格你就知道大概在n等於多少時，不重複的機率會跌到50%↓ 也就是重複的機率在50%↑ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.171.254.44 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/ask-why/M.1406776709.A.F15.html