[解題] 高一數學
1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：三角函數Chap3
4.題目：
y=(1-sinx)/(2+cosx) ,求範圍...
(1) x為實數
(2) 0 < x < π (因符號輸入關係,以下 "<" 均表示"小於或等於")
5.想法：
(1) 標準作法簡單, 移項得 2y+ycosx = 1-sinx => sinx+ycosx = 1-2y
1 y
左邊疊合得√(1+y^2)[-------- sinx + ------- cosx] = 1-2y .....(*)
√(1+y^2) √(1+y^2)
=> √(1+y^2)sin(x+θ) = 1-2y
利用 |1-2y| < √(1+y^2)
同時平方 可得 3y^2-4y < 0 => 0 < y < 4/3 #
問題在於(2)
1 y
在(*)中, 假設cosθ= --------- , sinθ= -------
√(1+y^2) √(1+y^2)
因 0 < x < π -y
故 θ< x+θ < π+θ 可得 -------- < sin(π+θ) < 1
√(1+y^2)
因此 -y < √(1+y^2)sin(x+θ) < √(1+y^2) 即 -y < 1-2y < √(1+y^2)
接下來這部份就很困擾我, 左邊不等式可直接得 y < 1,
但是右邊的不等式解釋起來麻煩,
要兩邊同時平方, 卻還得先說明 | 1-2y | < √(1+y^2)
我的問題就是在此, 是問有沒有前輩對這部分有更好的處理方式? 謝謝!
=> 0 < y < 1 #
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