Re: [解題] 高一數學
※ 引述《waylont (我會用心的祈禱~~)》之銘言：
: 1.年級：高中一年級
: 2.科目：數學
※ 引述《waylont (我會用心的祈禱~~)》之銘言：
: 1.年級：高中一年級
: 2.科目：數學
: 3.章節：第一章 數
: 4.題目：
: 有一個正整數除以7餘3 除以17餘5
: 求其除以7*17的餘數
: 5.想法：
: 令正整數=N
: N=7q +3
: N=17p+5
: N*N=7*17pq+35q+17*3p+15 只有這個想法
: 之後就不會解
: 有翻過一些參考書 可是就是沒有類似的
: 希望板上高手可以解惑 謝謝
---
通常這種題目是想要學生練習用輾轉相除法
其實原理就是 被除數 = 除數 x 商 + 餘數
令 N = 7a+3 = 17b+5
→ 7a - 17b = 2 ____(1)
17b + 2 7*2b + 3b+2 3b+2
→ a = _______ = ___________ = 2b + ____
7 7 7
所以必然存在一整數 c , 使得:
3b + 2 = 7c ____(2)
7c - 2 3*2c + c-2 c-2
→ b = _______ = ___________ = 2c + ___
3 3 3
所以必然存在一整數 d , 使得:
c - 2 = 3d ____(3)
現在我把 (1) (2) (3) 式寫在一起 :
7a - 17b = 2 ____(1)
7c - 3b = 2 ____(2)
c - 3d = 2 ____(3)
應該有發現一個規律
原因不難想: 7a - 17b = 2 → 7a - 7*2b - 3b = 2
→ 7*(a-2b) - 3b = 2
→ 7c - 3b = 2 for c=a-2b
要用算的 ( 或是根據規律寫 >.b )
總之用任何方法寫出 (1)~(3) 式 (or more eq.)
寫出 (3) 式後就可以不用再寫了
因為可以 100% 確認 c=2 為一解
所以再往回帶入去求: c=2 → b=4 → a=10
by (2) by (1)
因此 N = 7a+3 = 17b+5 = 73
即 73/(7*17) = 0 ...73
-------分隔線-------
若想用 try 答案的方法 (適用數字很小)
比如 7a-17b = 2 → 7a = 2+17b
因為 (7,17)=1
所以任意的連續7個整數中
必然有一數 k 會使得 7 | (2+17k) (or 7 | (2+3k) )
例如就讓 b = (-3) ~ 3 去帶入
看哪一個數 b 會使得 a 為整數
(以上面例子來說， b=-3 會使得 7 | [2+3*(-3)] )
-------分隔線-------
數字小的時候
算法也有很多種
我可以舉兩個比較有趣的方法:
<1>
N = 7a+3 → 17N = 119a + 51 ____(4)
N = 17b+5 → 7N = 119b + 35 ____(5)
(4)-(5) → 10N = 119n + 16 for n=a-b
= 10(12n+1) + 6-n
因為 N 是整數，所以 10|(6-n) ，即 n=6 為一解
因此 10N = 10*73 → N = 73
<2>
任意挑兩數，如 (m,n) = (2,1)
可得 7m - 17n = -3 → 7*4m - 17*4n = -12
→ 7*4m - 17*4n = 2 - 7*2
→ 7(4m+2) - 17*4n = 2
因此可知 (a,b) = (4m+2 , 4n) = (10,4) 滿足 7a - 17b = 2
即 N = 7a+3 = 17b+5 = 73
但不論是哪種方法
最後還是免不了要求 ax+by=c , (x,y) 的整數解
如 法<1> 最後是要求 6-n = 10k 的整數解
法<2> 最後是要求 -3x + 7y = 2 的整數解
只是數字很小的時候可以很快 try 出答案
但數字一大
相信我
到頭來還是會需要用 輾轉相除法 (ex: 298m + 315n = 198 ,求整數解(m,n) )
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
討論串 (同標題文章)
tutor 近期熱門文章
PTT職涯區 即時熱門文章
