Re: [解題] 高一數學
※ 引述《TheStranger (guest)》之銘言:
: 1.年級:高一
: 2.科目:數學
: 3.章節:第二冊第一章 指數與對數
: 4.題目:(抱歉不會打根號)
: 三次根號(-8)=-2
3
先弄清楚符號 √(-8) 在問什麼,一般我們將這個問題理解成求出方程式 x^3 = -8 的唯
一負實根 (根的存在性仰賴中間值定理,唯一性只是因式分解)。
證明方法如下: 考慮多項方程式 f(x) = x^3 + 8, 則有 f(0)f(-3) < 0,
故依實數連續函數的中間值定理, f(x) 在 0 與 -3 之間有一個負根, 設為 α. 次證
唯一性, 若 β 也是 f(x) 的負根, 則 α^3 = β^3 => 0 = (α-β)(α^2 + αβ+β^2)
故 α = β.
3
如果你將 √(-8) 理解成求出 x^3 = -8 的所有解,那麼
解出 x^3 = -8 的方法就是套用棣美幅定理,而答案是 3 個。
簡證如下: 由棣美幅定理知 z_k = 2{cos[(2k+1)π/3] + i sin[(2k+1)π/3]},
k = 0,1,2 是 x^3 = -8 的三個根. 若 γ 是異於此三根的另一根, 則 γ 是方程式
0 = x^3 + 8 = (x - z_0)(x - z_1)(x - z_2) 的根, 此為矛盾, 因為等號右手邊不
為零, 證得方程式 x^3 + 8 = 0 恰好只有三個根.
將此處的正整數 3 改成一般的正奇數 2n+1 (n 為正整數) 論證仍正確。
: 5.想法:
: 新超群寫 三次根號(-a)=-(三次根號a)
: 但 為何二次根號負數=虛數
: 三次根號負數=實數 ?
: 是因為x^3=-1 有實數解 故定義此實數解就是 三次根號(-1)嗎?
: 這麼說來 對所有奇數n x^n=-1 都有實數解 -1
: 故對所有奇數n n次根號(-1)=-1 都成立囉?
: 那不等於二的偶數要怎麼定義?
: 例如x^4=-1 每一個解都不剛好在實軸或虛軸
: 那要如何定義 四次根號(-1)?
: 難道等於 根號i 嗎?
: 那根號i 又是 x^2=i 的哪個解?
: 故我實在認為定義 三次根號(-1)=-1 真的滿奇怪的
: 不知道大家有沒有合理的解釋
: 或是有沒有比較有公信力的書(除了高中參考書以外)或網站可以解釋?
: 非常謝謝大家
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.219.121.72
※ 編輯: armopen 來自: 61.219.121.72 (01/31 10:06)
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