Re: [解題] 請問一題數學
※ 引述《aaaccciii (safe)》之銘言:
: 若有學生像下面這樣做,請問哪裡做錯?
: ∞
: Σ(-3/2)^n =1-3/2+9/4+.....=x
: n=0
: ∞
: 2Σ(-3/2)^n =2-3+9/2 …….
: n=0
: 2x=-1+(9/2)x
: x=2/5
這個問題可以從兩個層面來看
1. 已經知道原級數發散,這樣的作法求和錯在哪裡?
2. 既然有這麼一套方法可以求此類級數和,為何不將這種級數和定成這樣?
針對 1. 對於級數的和,定義為 加到第 n 項,在將 n 逼近到無限大。
而沒有辦法直接對整個級數去做加減乘除的動作,甚至於搬項。
雖然我們已經知道如果級數收斂,可以將她們加加減減,但是如果要求級數和,
意思就是你不知道他收斂或發散,所以不能整個級數去作。
_ _
最常見的例子,常常有證明 0.9 = 1 的証明,會先令 x = 0.9
_
然後利用 9x = 9.9 級數相減,求出 x = 1
每次這樣的證明都被批評不嚴謹,到底不嚴謹在哪,就是在此。
對於級數的求和不能相加、相減、搬項,舉出
1 + 2 + 4 + ... 或是 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...
來做為例子不錯,但是要當做理由稍嫌不足,原因是因為如果原題的方法是對的,
那麼 1 + 2 + 4 + .. 也可以定為 -1, 1 - 1 + 1 -1 + 1... 也可以定為 0.5
他們是同時對,同時錯的。
高中部分未就數列極限的定義以及無限級數和定義做說明,倒是會造成不少困擾。
但是與高等數學有關的部分僅限於此,硬是要牽扯其他高等數學的部份進來,
實在很怪,而且往往錯的離譜。
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W. B. Yeats
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